Вариант 4 Самостоятельная работа 11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Уравнение с двумя переменными и его график
1. Постройте график уравнения:
1) x^2+y^2+6x+10y+34=0; 2) x^2-16y^2=0;
3) |y+2|=vx; 4) (x^2+y^2-9)/(y^2-4)=0.
2. Решите уравнение (x^2-2x+5)(y^2+6y+11)=8.

1. 1) $$x^2+y^2+6x+10y+34=0$$

   Дополняем до квадратов:

   $$x^2+6x+9+y^2+10y+25=0$$

   $$\left(x+3\right)^2+\left(y+5\right)^2=0$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$x+3=0,\quad y+5=0$$

   $$x=-3,\quad y=-5$$

   График — одна точка $$(-3;\,-5)$$.

2. 2) $$x^2-16y^2=0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2=16y^2$$

   $$|x|=4|y|$$

   Отсюда получаем две прямые:

   $$x=4y \quad \text{и} \quad x=-4y$$

   или

   $$y=\frac{x}{4} \quad \text{и} \quad y=-\frac{x}{4}$$

3. 3) $$|y+2|=\sqrt{x}$$

   Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, то:

   $$y+2=\sqrt{x} \quad \text{или} \quad y+2=-\sqrt{x}$$

   Следовательно,

   $$y=\sqrt{x}-2 \quad \text{и} \quad y=-\sqrt{x}-2$$

4. 4) $$\frac{x^2+y^2-9}{y^2-4}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$x^2+y^2-9=0,\quad y^2-4\ne 0$$

   $$x^2+y^2=9,\quad y\ne \pm 2$$

   График — окружность радиуса $$3$$ с центром в начале координат, но точки с $$y=\pm 2$$ не входят в решение.

2. Решим уравнение:

$$\left(x^2-2x+5\right)\left(y^2+6y+11\right)=8$$

Преобразуем выражения в скобках:

$$x^2-2x+5=\left(x-1\right)^2+4\ge 4$$

$$y^2+6y+11=\left(y+3\right)^2+2\ge 2$$

Тогда произведение двух неотрицательных выражений не меньше $$4\cdot 2=8$$. Равенство возможно только при

$$\left(x-1\right)^2=0,\quad \left(y+3\right)^2=0$$

$$x=1,\quad y=-3$$

Ответ

1) $$(-3;\,-5)$$; $$x=4y$$ и $$x=-4y$$; $$y=\sqrt{x}-2$$ и $$y=-\sqrt{x}-2$$; $$x^2+y^2=9,\ y\ne \pm 2$$.

2) $$(1;\,-3)$$.