Вариант 4 Самостоятельная работа 35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Суммирование
1. Найдите сумму 5/6+71/36+647/216+…+(6^n·n-1)/6^n.
2. Найдите сумму (4-1/4)^2+(4^2-1/4^2)^2+(4^3-1/4^3)^2+…+(4^n-1/4^n)^2.
3. Найдите сумму 1/(3·8)+1/(8·13)+1/(13·18)+…+1/((5n-2)·(5n+3)).

1. Преобразуем общий член:

   $$\frac{6^n\cdot n-1}{6^n}=n-\frac{1}{6^n}.$$

   Тогда

   $$ \frac56+\frac{71}{36}+\frac{647}{216}+\cdots+\frac{6^n\cdot n-1}{6^n} =\left(1-\frac16\right)+\left(2-\frac1{6^2}\right)+\cdots+\left(n-\frac1{6^n}\right). $$

   Складываем отдельно целые и дробные части:

   $$ S=\left(1+2+\cdots+n\right)-\left(\frac16+\frac1{6^2}+\cdots+\frac1{6^n}\right). $$

   Используем формулы суммы арифметической и геометрической прогрессий:

   $$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}, $$

   $$ \frac16+\frac1{6^2}+\cdots+\frac1{6^n} =\frac{\frac16\left(1-\left(\frac16\right)^n\right)}{1-\frac16} =\frac15\left(1-\frac1{6^n}\right). $$

   Следовательно,

   $$ S=\frac{n(n+1)}{2}-\frac15\left(1-\frac1{6^n}\right) =\frac{n(n+1)}{2}-\frac15+\frac{1}{5\cdot 6^n}. $$

2. Раскроем квадраты:

   $$ \left(4-\frac14\right)^2+\left(4^2-\frac1{4^2}\right)^2+\cdots+\left(4^n-\frac1{4^n}\right)^2 $$

   $$ =\left(4^2-2+\frac1{4^2}\right)+\left(4^4-2+\frac1{4^4}\right)+\cdots+\left(4^{2n}-2+\frac1{4^{2n}}\right). $$

   Тогда

   $$ S=\left(4^2+4^4+\cdots+4^{2n}\right)-2n+\left(\frac1{4^2}+\frac1{4^4}+\cdots+\frac1{4^{2n}}\right). $$

   Это две геометрические прогрессии:

   $$ 4^2+4^4+\cdots+4^{2n} =16+16^2+\cdots+16^n =\frac{16(16^n-1)}{15}, $$

   $$ \frac1{4^2}+\frac1{4^4}+\cdots+\frac1{4^{2n}} =\frac1{16}+\frac1{16^2}+\cdots+\frac1{16^n} =\frac{1}{15}\left(1-\frac1{16^n}\right). $$

   Следовательно,

   $$ S=\frac{16(16^n-1)}{15}-2n+\frac{1}{15}\left(1-\frac1{16^n}\right) =\frac{16^{n+1}}{15}-\frac{1}{15\cdot 16^n}-2n-1. $$

3. Разложим дробь на разность:

   $$ \frac{1}{(5k-2)(5k+3)}=\frac15\left(\frac1{5k-2}-\frac1{5k+3}\right). $$

   Тогда сумма телескопируется:

   $$ \frac1{3\cdot 8}+\frac1{8\cdot 13}+\frac1{13\cdot 18}+\cdots+\frac1{(5n-2)(5n+3)} $$

   $$ =\frac15\left(\frac13-\frac18+\frac18-\frac1{13}+\frac1{13}-\frac1{18}+\cdots+\frac1{5n-2}-\frac1{5n+3}\right) $$

   $$ =\frac15\left(\frac13-\frac1{5n+3}\right) =\frac1{15}-\frac1{5(5n+3)}. $$

Ответ

1) $$\frac{n(n+1)}{2}-\frac15+\frac{1}{5\cdot 6^n}$$

2) $$\frac{16^{n+1}}{15}-\frac{1}{15\cdot 16^n}-2n-1$$

3) $$\frac1{15}-\frac1{5(5n+3)}$$