Вариант 4 Самостоятельная работа 34 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы
1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) -72, 24, -8, … ; 2) 12, 6v2, 2, … .
2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:
1) 0,333… ; 2) 4,2(41).
3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где |q| < 1, сумма членов с нечётными номерами равна 24, а сумма членов с чётными номерами равна -8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Подробный ответ

Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии.
1) $$-72,\ 24,\ -8,\ldots$$
$$b_1=-72,\quad q=\frac{24}{-72}=-\frac13$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-72}{1-(-\frac13)}=\frac{-72}{1+\frac13}=\frac{-72}{\frac43}=-54$$
2) $$12,\ 6\sqrt2,\ 2,\ldots$$
$$b_1=12,\quad q=\frac{6\sqrt2}{12}=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{24}{2-\sqrt2}$$
$$S=\frac{24(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}=\frac{24(2+\sqrt2)}{4-2}=12(2+\sqrt2)$$
Запишем числа в виде обыкновенной дроби.
1) $$0,333\ldots=0,3+0,03+0,003+\ldots$$
Это бесконечная геометрическая прогрессия, где
$$b_1=0,3,\quad q=0,1$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,3}{1-0,1}=\frac{0,3}{0,9}=\frac13$$
2) $$4,2(41)=4,2+0,041+0,00041+\ldots$$
$$b_1=0,041,\quad q=0,01$$
$$S=4,2+\frac{0,041}{1-0,01}=\frac{42}{10}+\frac{0,041}{0,99}$$
$$S=\frac{42}{10}+\frac{41}{990}=\frac{4199}{990}$$
Пусть сумма членов с нечётными номерами равна $$24$$, а с чётными — $$-8$$.
Тогда
$$S_{\text{чёт}}=S_{\text{нечёт}}\cdot q$$
$$-8=24q,\quad q=-\frac13$$
Сумма всей прогрессии:
$$S=24+(-8)=16$$
Для бесконечной геометрической прогрессии
$$S=\frac{b_1}{1-q}$$
откуда
$$16=\frac{b_1}{1-(-\frac13)}=\frac{b_1}{1+\frac13}=\frac{b_1}{\frac43}$$
$$b_1=16\cdot \frac43=\frac{64}{3}=21\frac13$$