Вариант 4 Самостоятельная работа 33 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма n первых членов геометрической прогрессии
1. Геометрическая прогрессия (b_n) задана формулой n-го члена b_n=18·3^(n-3). Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
2. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна -99. Найдите n, если первый член прогрессии равен -9, а знаменатель прогрессии равен -2.
3. Для любого натурального n сумму n первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле S_n=2(6^n-1). Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

1. Найдём первые члены прогрессии:

   $$b_n=18\cdot 3^{n-3}$$

   $$b_1=18\cdot 3^{-2}=18\cdot \frac{1}{9}=2$$

   $$b_2=18\cdot 3^{-1}=18\cdot \frac{1}{3}=6$$

   Знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{6}{2}=3$$

   Тогда сумма первых пяти членов:

   $$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{2(3^5-1)}{3-1}=242$$

2. Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

   Подставим данные:

   $$-99=\frac{-9\bigl((-2)^n-1\bigr)}{-2-1}$$

   $$-99=3\bigl((-2)^n-1\bigr)$$

   $$(-2)^n-1=-33$$

   $$(-2)^n=-32$$

   Отсюда $$n=5$$.

3. Проверим первые члены последовательности по формуле суммы:

   $$S_n=2(6^n-1)$$

   $$S_1=2(6-1)=10$$

   $$S_2=2(36-1)=70$$

   Тогда

   $$b_1=S_1=10$$

   $$b_2=S_2-S_1=70-10=60$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{60}{10}=6$$

   Следовательно, последовательность является геометрической прогрессией, так как её первый член и знаменатель постоянны, а сумма первых $$n$$ членов имеет вид

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{10(6^n-1)}{6-1}=2(6^n-1).$$

Ответ

1) $$242$$; 2) $$5$$; 3) последовательность является геометрической прогрессией, $$b_1=10$$, $$q=6$$.