Вариант 4 Самостоятельная работа 32 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Геометрическая прогрессия
1. Между числами 625 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b_12=36b_10 и b_3+b_6=-252.
3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 24. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно 2 и 3, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Подробный ответ

Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$625,\ b_2,\ b_3,\ b_4,\ 81.$$ Тогда
$$b_5=b_1q^4=81,\qquad b_1=625.$$
Получаем
$$625q^4=81,\qquad q^4=\frac{81}{625},\qquad q=\pm\frac35.$$
Если $$q=\frac35,$$ то
$$b_2=625\cdot\frac35=375,\quad b_3=375\cdot\frac35=225,\quad b_4=225\cdot\frac35=135.$$
Если $$q=-\frac35,$$ то
$$b_2=625\cdot\left(-\frac35\right)=-375,\quad b_3=-375\cdot\left(-\frac35\right)=225,\quad b_4=225\cdot\left(-\frac35\right)=-135.$$
Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}.$$ Тогда из условия
$$b_{12}=36b_{10}$$
получаем
$$b_1q^{11}=36b_1q^9,\qquad q^2=36,\qquad q=\pm 6.$$
Используем второе условие:
$$b_3+b_6=-252.$$
Так как $$b_3=b_1q^2,\quad b_6=b_1q^5,$$ то
$$b_1q^2+b_1q^5=-252.$$
При $$q=6$$:
$$36b_1+7776b_1=-252,\qquad 7812b_1=-252,\qquad b_1=-\frac1{31}.$$
При $$q=-6$$:
$$36b_1-7776b_1=-252,\qquad -7740b_1=-252,\qquad b_1=\frac7{215}.$$
Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$a_1,\ a_2,\ a_3.$$ Тогда
$$a_1+a_2+a_3=24,\qquad a_2=8.$$
Обозначим разность прогрессии через $$d$$. Тогда
$$a_1=8-d,\qquad a_3=8+d.$$
После изменений получаем числа
$$8-d,\ 6,\ 5+d.$$
Они образуют геометрическую прогрессию, значит
$$6^2=(8-d)(5+d).$$
Тогда
$$36=40+3d-d^2,$$
$$d^2-3d-4=0,$$
$$d_1=-1,\qquad d_2=4.$$
Если $$d=-1,$$ то
$$a_1=9,\qquad a_2=8,\qquad a_3=7.$$
Если $$d=4,$$ то
$$a_1=4,\qquad a_2=8,\qquad a_3=12.$$