Вариант 4 Самостоятельная работа 31 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма n первых членов арифметической прогрессии
1. Арифметическая прогрессия (a_n) задана формулой n-го члена: a_n=-4n+2. Найдите сумму двадцати пяти первых членов прогрессии.
2. Для любого натурального значения n сумму n первых членов некоторой арифметической прогрессии можно
вычислить по формуле S_n=2n^2+3n. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
3. Четырнадцатый член арифметической прогрессии равен 18. Найдите сумму двадцати семи первых членов прогрессии.

1. Найдём первый и двадцать пятый члены прогрессии:

   $$a_n=-4n+2$$

   $$a_1=-4\cdot 1+2=-2$$

   $$a_{25}=-4\cdot 25+2=-98$$

   Тогда сумма первых 25 членов:

   $$S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}\cdot 25=\frac{-2+(-98)}{2}\cdot 25=-50\cdot 25=-1250$$

2. Используем формулу суммы:

   $$S_n=2n^2+3n$$

   Найдём первые суммы:

   $$S_1=2\cdot 1^2+3\cdot 1=5$$

   $$S_2=2\cdot 2^2+3\cdot 2=14$$

   Тогда

   $$a_1=S_1=5$$

   $$a_2=S_2-S_1=14-5=9$$

   Разность прогрессии:

   $$d=a_2-a_1=9-5=4$$

3. По формуле общего члена:

   $$a_{14}=a_1+13d=18$$

   Найдём сумму 27 первых членов:

   $$S_{27}=\frac{a_1+a_{27}}{2}\cdot 27$$

   Так как

   $$a_{27}=a_1+26d,$$

   то

   $$S_{27}=\frac{a_1+a_1+26d}{2}\cdot 27=\frac{2(a_1+13d)}{2}\cdot 27$$

   $$S_{27}=a_{14}\cdot 27=18\cdot 27=486$$

Ответ

1) $$-1250$$; 2) $$a_1=5,\ d=4$$; 3) $$486$$.