Вариант 4 Самостоятельная работа 30 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Арифметическая прогрессия
1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии -4,8; -4,4; -4; … .
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (a_n), если a_5+a_8=29 и a_7+a_11=44.
3. При каком значении a значения выражений a^2+1, 2a+3, 3a-1 и a^2-2a+4 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.
Найдём разность прогрессии:
$$d=-4{,}4-(-4{,}8)=0{,}4.$$
Общий член:
$$a_n=-4{,}8+0{,}4(n-1).$$
Первый положительный член найдём из неравенства:
$$-4{,}8+0{,}4(n-1)>0.$$
$$0{,}4n-5{,}2>0,$$
$$0{,}4n>5{,}2,$$
$$n>13.$$
Значит, первый положительный член — при $$n=14.$$
Запишем данные условия через $$a_1$$ и $$d$$:
$$a_5+a_8=29,$$
$$a_7+a_{11}=44.$$
Тогда
$$a_1+4d+a_1+7d=29,$$
$$2a_1+11d=29,$$
$$a_1=\frac{29-11d}{2}.$$
И
$$a_1+6d+a_1+10d=44,$$
$$2a_1+16d=44.$$
Подставим $$a_1=\frac{29-11d}{2}$$ во второе уравнение:
$$29-11d+16d=44,$$
$$5d=15,$$
$$d=3.$$
Тогда
$$a_1=\frac{29-11\cdot 3}{2}=\frac{-4}{2}=-2.$$
Пусть числа $$a^2+1,\; 2a+3,\; 3a-1,\; a^2-2a+4$$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда средний член равен полусумме соседних:
$$2(2a+3)=(a^2+1)+(3a-1),$$
$$2(3a-1)=(2a+3)+(a^2-2a+4).$$
Из первого уравнения:
$$4a+6=a^2+3a,$$
$$a^2-a-6=0,$$
$$ (a-3)(a+2)=0,$$
$$a=3 \text{ или } a=-2.$$
Из второго уравнения:
$$6a-2=a^2+7,$$
$$a^2-6a+9=0,$$
$$ (a-3)^2=0,$$
$$a=3.$$
Подходит только $$a=3$$. Тогда члены прогрессии:
$$a^2+1=10,\quad 2a+3=9,\quad 3a-1=8,\quad a^2-2a+4=7.$$
Ответ
1) $$14$$; 2) $$a_1=-2,\ d=3$$; 3) $$a=3,$$ члены прогрессии: $$10,\ 9,\ 8,\ 7.$$
