Вариант 4 Самостоятельная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Четные и нечетные функции
1. Функция f чётная. Может ли выполняться равенство f(1)·f(-1)=-1?
2. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=(x^7-2x^6)/(x-2);
2) y=x^5+3x^2;
3) y=v(3+x)+v(3-x).
3. Известно, что min([-6; -4], f(x))=2, max([-6; -4], f(x))=7. Найдите min([4; 6], f(x)) и max([4; 6], f(x)), если:
1) f — чётная функция; 2) f — нечётная функция.
4. При каких значениях параметра а уравнение x^4-ax^2+a^2-2a-8=0 имеет три корня?

Подробный ответ

Если функция чётная, то $$f(-1)=f(1).$$ Тогда
$$f(1)\cdot f(-1)=f(1)\cdot f(1)=(f(1))^2.$$
Квадрат действительного числа не может быть равен $$-1$$.
Ответ: нет.
Исследуем функции на чётность.
1) $$y=\frac{x^7-2x^6}{x-2}, \quad x\ne 2.$$
Область определения не симметрична относительно нуля, значит функция не может быть чётной или нечётной. Функция общего вида.
2) $$y=x^5+3x^2, \quad x\in \mathbb{R}.$$
$$y(-x)=(-x)^5+3(-x)^2=-x^5+3x^2.$$
Так как $$y(-x)\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x),$$ функция общего вида.
3) $$y=\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}.$$
Область определения: $$3+x\ge 0,\; 3-x\ge 0,$$ то есть $$x\in[-3;3].$$ Она симметрична относительно нуля.
$$y(-x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}=y(x).$$
Следовательно, функция чётная.
Известно, что
$$\min_{[-6;-4]} f(x)=2,\qquad \max_{[-6;-4]} f(x)=7.$$
1) Если $$f$$ — чётная функция, то значения на отрезке $$[4;6]$$ такие же, как на отрезке $$[-6;-4]$$:
$$\min_{[4;6]} f(x)=2,\qquad \max_{[4;6]} f(x)=7.$$
2) Если $$f$$ — нечётная функция, то значения на отрезке $$[4;6]$$ противоположны значениям на $$[-6;-4]$$:
$$\min_{[4;6]} f(x)=-7,\qquad \max_{[4;6]} f(x)=-2.$$
Рассмотрим уравнение
$$x^4-ax^2+a^2-2a-8=0.$$
Положим $$t=x^2,\; t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2-at+a^2-2a-8=0.$$
Чтобы уравнение по $$x$$ имело три корня, один из корней должен быть $$x=0$$, а второй квадратный корень должен давать пару $$x=\pm \sqrt{t}.$$ Значит, число $$t=0$$ должно быть корнем уравнения:
$$a^2-2a-8=0.$$
$$D=4+32=36,$$
$$a_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}.$$
Получаем:
$$a=-2 \quad \text{или} \quad a=4.$$
Проверим:
при $$a=-2$$
$$x^4+2x^2=0,$$
$$x^2(x^2+2)=0,$$
откуда $$x=0$$;
при $$a=4$$
$$x^4-4x^2=0,$$
$$x^2(x^2-4)=0,$$
откуда $$x=0,\; x=\pm 2.$$
Три корня получается только при $$a=4.$$