Вариант 4 Самостоятельная работа 29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Числовые последовательности
1. Найдите три первых члена последовательности (a_n), если a_1=4, a_(n+1)=-2a_n+4.
2. Последовательность (c_n) задана формулой n-го члена c_n=3-8n. Является ли членом этой последовательности число: 1) 53; 2) 75? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
3. Последовательность (a_n) задана формулой n-го члена a_n=-n^2+3n-4. Найдите количество членов этой последовательности, которые больше числа -22.
4. Найдите все такие значения a, при которых последовательность, заданная условиями x_1=a, x_(n+1)=x_n^2-4x_n+4, является стационарной.

1. Найдём первые три члена последовательности:

   $$a_1=4,$$
   $$a_2=-2a_1+4=-2\cdot 4+4=-4,$$
   $$a_3=-2a_2+4=-2\cdot(-4)+4=12.$$

2. Проверим, является ли число членом последовательности $$c_n=3-8n$$.

   1) Для числа $$53$$:
   $$3-8n=53,$$
   $$8n=-50,$$
   $$n=-6{,}25.$$
   Натурального номера нет, значит, $$53$$ не является членом последовательности.

   2) Для числа $$75$$:
   $$3-8n=75,$$
   $$8n=-72,$$
   $$n=-9.$$
   Натурального номера нет, значит, $$75$$ не является членом последовательности.

3. Найдём, при каких $$n$$ выполняется неравенство:

   $$-n^2+3n-4>-22,$$
   $$n^2-3n-18<0.$$

   Решим квадратное уравнение $$n^2-3n-18=0$$:
   $$D=3^2+4\cdot 18=81,$$
   $$n_{1,2}=\frac{3\pm 9}{2}.$$
   Тогда
   $$n_1=-3,\quad n_2=6.$$

   Следовательно,
   $$-3<n<6.$$
   Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=1,2,3,4,5$$. Всего 5 членов.

4. Последовательность стационарна, если $$x_{n+1}=x_n$$ для всех $$n$$. Тогда

   $$a=a^2-4a+4,$$
   $$a^2-5a+4=0.$$

   Решим уравнение:
   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,$$
   $$a_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
   Получаем
   $$a_1=1,\quad a_2=4.$$

Ответ

1) $$4,\,-4,\,12$$; 2) нет, нет; 3) $$5$$; 4) $$1,\,4$$.