Вариант 4 Самостоятельная работа 10 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки
1. При каких значениях параметра a все корни уравнения x^2-(6a-5)x-30a=0 принадлежат промежутку (-6; 1)?
2. Найдите все значения параметра a, при которых один из корней квадратного уравнения ax^2-x+5=0 больше -2, а другой меньше -2.
3. При каких значениях параметра a корни уравнения x^2+(2a+6)x+a^2-6a+8=0 являются отрицательными числами?

Подробный ответ

Решим уравнение
$$x^2-(6a-5)x-30a=0.$$
Дискриминант:
$$D=(6a-5)^2+120a=36a^2+60a+25=(6a+5)^2.$$
Тогда корни:
$$x_1=\frac{6a-5-(6a+5)}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{6a-5+(6a+5)}{2}=6a.$$
Оба корня должны принадлежать промежутку $$(-6;1)$$:
$$-6<-5<1,\qquad -6<6a<1.$$
Отсюда
$$-1<a<\frac16.$$
Рассмотрим уравнение
$$ax^2-x+5=0.$$
Чтобы один корень был больше $$-2$$, а другой меньше $$-2$$, число $$-2$$ должно лежать между корнями. Значит,
$$f(-2)<0,$$
где $$f(x)=ax^2-x+5.$$
Вычислим:
$$f(-2)=4a+2+5=4a+7.$$
Тогда
$$4a+7<0,\qquad a<-\frac74.$$
При этом уравнение должно иметь два действительных корня, значит
$$D=1-20a>0.$$
При $$a<-\frac74$$ это условие выполняется автоматически. Кроме того, $$a\neq 0$$, так как уравнение должно быть квадратным.
Итак,
$$a<-\frac74.$$
Решим уравнение
$$x^2+(2a+6)x+a^2-6a+8=0.$$
Чтобы оба корня были отрицательными, нужно:
$$D\ge 0,\qquad x_1+x_2<0,\qquad x_1x_2>0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(2a+6)^2-4(a^2-6a+8)=48a+4=4(12a+1).$$
Отсюда
$$a\ge -\frac1{12}.$$
Сумма корней:
$$x_1+x_2=-(2a+6)<0 \;\Rightarrow\; a>-3.$$
Произведение корней:
$$x_1x_2=a^2-6a+8=(a-2)(a-4)>0,$$
то есть
$$a<2 \quad \text{или} \quad a>4.$$
Пересекаем все условия:
$$a\ge -\frac1{12},\qquad a>-3,\qquad a<2 \ \text{или}\ a>4.$$
Получаем
$$a\in\left[-\frac1{12};\,2\right)\cup(4;+\infty).$$