Вариант 4 Самостоятельная работа 25 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сочетания
1. Упростите выражение 16/(n+8)·C(n+9, n+7).
2. Решите в натуральных числах уравнение A(x+4, 2)+C(x+7, x+5)=111.
3. Оркестру требуются скрипачи и флейтисты. На место скрипача претендуют 9 кандидатов, на место флейтиста — 7 кандидатов. Сколько существует вариантов приема в оркестр 4 скрипачей и 3 флейтистов?
4. В шахматном кружке занимается 15 человек. Из них нужно сформировать команду из 6 человек, причём Саша и Вова не могут входить в команду одновременно. Сколькими способами это можно сделать?

1. $$\frac{16}{n+8}\cdot C_{n+9}^{\,n+7}=\frac{16}{n+8}\cdot \frac{(n+9)!}{(n+7)!\,2!}$$

   $$=\frac{16}{n+8}\cdot \frac{(n+9)(n+8)}{2}=8(n+9).$$

2. $$A_{x+4}^{\,2}+C_{x+7}^{\,x+5}=111$$

   $$\frac{(x+4)!}{(x+2)!}+\frac{(x+7)!}{(x+5)!\,2!}=111$$

   $$2(x+4)(x+3)+(x+7)(x+6)=222$$

   $$2x^2+14x+24+x^2+13x+42=222$$

   $$3x^2+27x-156=0$$

   $$x^2+9x-52=0$$

   $$D=9^2+4\cdot 52=81+208=289$$

   $$x_{1,2}=\frac{-9\pm 17}{2}$$

   $$x_1=-13,\quad x_2=4.$$

   Так как $x$ — натуральное число, получаем $$x=4.$$

3. Число способов выбрать 4 скрипачей из 9 и 3 флейтистов из 7:

   $$N=C_9^{\,4}\cdot C_7^{\,3}=\frac{9!}{5!\,4!}\cdot \frac{7!}{3!\,4!}$$

   $$N=126\cdot 35=4410.$$

4. Всего способов выбрать 6 человек из 15:

   $$C_{15}^{\,6}.$$

   Нужно исключить случаи, когда Саша и Вова попали в команду одновременно. Тогда остаётся выбрать ещё 4 человека из 13:

   $$C_{13}^{\,4}.$$

   Искомое число способов:

   $$C_{15}^{\,6}-C_{13}^{\,4}=5005-715=4290.$$

Ответ

1) $$8(n+9)$$; 2) $$4$$; 3) $$4410$$; 4) $$4290$$.