Вариант 4 Самостоятельная работа 24 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Размещения
1. В соревнованиях по толканию ядра участвует 7 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье, четвёртое и пятое места?
2. Решите в натуральных числах уравнение:
1) A(x+6; 2)=210; 2) P(x+7)/(A(x+4, 8)·P(x-4))=990.
3. Сколько различных семизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы цифры не повторялись, а вторая и пятая цифры были чётными?

1. Число способов распределить первые пять мест среди 7 спортсменов равно числу размещений:
   $$A_7^5=\frac{7!}{(7-5)!}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=2520.$$
2. 1. $$A_{x+6}^2=210,$$
      $$\frac{(x+6)!}{(x+4)!}=210,$$
      $$ (x+6)(x+5)=210,$$
      $$x^2+11x-180=0.$$
      $$D=11^2-4\cdot 1\cdot(-180)=121+720=841,$$
      $$x=\frac{-11\pm 29}{2}.$$
      Получаем $$x_1=-20,\; x_2=9.$$
      Так как число натуральное, подходит $$x=9.$$
   2. $$\frac{P_{x+7}}{A_{x+4}^8\cdot P_{x-4}}=990,$$
      $$\frac{(x+7)!}{(x+4)!}\cdot \frac{(x-4)!}{(x-4)!}=990,$$
      $$\frac{(x+7)!}{(x+4)!}=990,$$
      $$ (x+7)(x+6)(x+5)=990.$$
      Проверим натуральные значения. При $$x=4$$:
      $$4+7=11,\quad 4+6=10,\quad 4+5=9,$$
      $$11\cdot 10\cdot 9=990.$$
      Значит, $$x=4.$$
3. Вторая и пятая цифры должны быть чётными. Среди цифр $$1,2,3,4,5,6,7,8,9$$ чётных четыре: $$2,4,6,8.$$
   
   Выбираем:
   • 2-ю цифру — $$4$$ способа;
   • 5-ю цифру — $$3$$ способа;
   • остальные 5 цифр — из оставшихся 7 цифр, без повторений: $$A_7^5=\frac{7!}{2!}.$$

   Тогда
   $$N=4\cdot 3\cdot \frac{7!}{2!}=12\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=30240.$$

Ответ

1) 2520; 2) 9, 4; 3) 30240.