Вариант 4 Самостоятельная работа 23 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Основные правила комбинаторики.
Перестановки
1. Сколькими способами можно распределить 11 водителей по 11 автомобилям?
2. Сколько семизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
3. Сколько нечётных семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?
4. В магазине есть 9 различных фарфоровых ваз, 5 различных хрустальных ваз и 7 различных керамических ваз. Сколькими способами их можно расставить на полке так, чтобы все фарфоровые вазы стояли рядом, все хрустальные вазы стояли рядом и все керамические вазы стояли рядом?

1. Распределить 11 водителей по 11 автомобилям можно числом перестановок:

   $$P_{11}=11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=39\,916\,800.$$

2. Семизначное число составляется из цифр $$0,1,2,3,4,5,6,7$$. Первая цифра не может быть нулём, поэтому для первой позиции есть $$7$$ вариантов, а для остальных шести позиций — по $$8,7,6,5,4,3$$ вариантов:

   $$N=7\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=35\,280.$$

3. Нечётное семизначное число из цифр $$1,2,3,4,5,6,7$$ без повторений должно оканчиваться нечётной цифрой. Таких цифр $$4$$: $$1,3,5,7$$.

   Оставшиеся 6 цифр можно переставить $$6!$$ способами:

   $$N=4\cdot 6!=4\cdot 720=2\,880.$$

4. Все вазы одного вида должны стоять рядом, значит, рассматриваем три блока: фарфоровые, хрустальные и керамические вазы. Эти блоки можно переставить $$3!$$ способами.

   Внутри блоков вазы можно переставить так:

   фарфоровые — $$9!$$, хрустальные — $$5!$$, керамические — $$7!$$.

   Тогда

   $$N=3!\cdot 9!\cdot 5!\cdot 7!=6\cdot 362\,880\cdot 120\cdot 5\,040=1\,316\,818\,944\,000.$$

Ответ

1) $$39\,916\,800$$; 2) $$35\,280$$; 3) $$2\,880$$; 4) $$1\,316\,818\,944\,000$$.