Вариант 4 Самостоятельная работа 22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Метод математической индукции
1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном n выполняется равенство
1+9+17+…+8n-7=n(4n-3).
2. Докажите неравенство 7^n > 6n+5, где n?N, n?2.
3. Докажите, что для любого натурального и значение выражения (24^n+25·11^n) кратно 13.
Докажем по индукции равенство $$1+9+17+\dots+8n-7=n(4n-3).$$
База индукции: при $$n=1$$ имеем
$$1=1\cdot(4\cdot1-3).$$
Равенство верно.
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ верно
$$1+9+17+\dots+(8k-7)=k(4k-3).$$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$ 1+9+17+\dots+(8k-7)+\bigl(8(k+1)-7\bigr) =k(4k-3)+8k+1. $$
$$ k(4k-3)+8k+1=4k^2-3k+8k+1=4k^2+5k+1=(k+1)(4k+1). $$
$$ (k+1)(4k+1)=(k+1)\bigl(4(k+1)-3\bigr). $$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
Докажем неравенство $$7^n>6n+5$$ при $$n\in\mathbb{N},\ n\ge 2.$$
База индукции: при $$n=2$$
$$7^2=49,\qquad 6\cdot2+5=17,$$
и потому $$49>17.$$
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ верно
$$7^k>6k+5.$$
Тогда
$$ 7^{k+1}=7\cdot7^k>7(6k+5)=42k+35. $$
Осталось показать, что
$$42k+35\ge 6(k+1)+5=6k+11.$$
Действительно,
$$42k+35-(6k+11)=36k+24>0.$$
Значит, $$7^{k+1}>6(k+1)+5.$$
Следовательно, неравенство верно для всех $$n\ge 2.$$
Докажем, что число $$24^n+25\cdot11^n$$ кратно $$13$$ при любом натуральном $$n$$.
База индукции: при $$n=1$$
$$24+25\cdot11=299,\qquad 299:13.$$
Значит, утверждение верно.
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ число $$24^k+25\cdot11^k$$ кратно $$13$$, то есть
$$24^k+25\cdot11^k=13m.$$
Рассмотрим $$n=k+1$$:
$$ 24^{k+1}+25\cdot11^{k+1} =24\cdot24^k+25\cdot11\cdot11^k. $$
$$ =24(24^k+25\cdot11^k)+\bigl(25\cdot11-24\cdot25\bigr)11^k $$
$$ =24(24^k+25\cdot11^k)-13\cdot25\cdot11^k. $$
Оба слагаемых кратны $$13$$, значит, и всё выражение кратно $$13$$.
Следовательно, утверждение верно для любого натурального $$n$$.
Ответ
1) $$1+9+17+\dots+8n-7=n(4n-3)$$; 2) $$7^n>6n+5$$ при $$n\ge 2$$; 3) $$24^n+25\cdot11^n$$ кратно $$13$$ при любом натуральном $$n$$.
