Вариант 4 Самостоятельная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
1. На рисунке 7 изображён график функции у=f(x), определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) min(R, f(x)); max(R, f(x));
5) min([-4; -3], f(x)); max([-4; -3], f(x)).
2. Докажите, что функция f(x)=5/(x+3) убывает на промежутке (-?; -3).
3. Найдите min(D(f), f(x)) и max(D(f), f(x)), если f(x)=5-v(16-x^2).
4. Убывающая функция f определена на множестве R. Возрастающей или убывающей является функция f(g(x)), если g(x)=2x-5?
5. Решите уравнение x^3+5v(3x+10)=2.

1. По графику функции получаем:

   1) нули функции: $$x=-4$$ и $$x=0$$;

   2) $$y>0$$ при $$x<-4$$ и $$x>0$$;

   3) функция возрастает на $$[-2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]$$;

   4) $$\min\limits_{\mathbb{R}} f(x)=-4,$$ а $$\max\limits_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует;

   5) на отрезке $$[-4;-3]$$: $$\min f(x)=-3,$$ $$\max f(x)=0.$$

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\dfrac{5}{x+3}$$ на промежутке $$(-\infty;-3)$$.

   Если $$-3<x_1<x_2,$$ то

   $$x_1+3<x_2+3<0,$$
   $$\dfrac{1}{x_1+3}>\dfrac{1}{x_2+3},$$
   значит,
   $$\dfrac{5}{x_1+3}>\dfrac{5}{x_2+3}.$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-3).$$

3. $$f(x)=5-\sqrt{16-x^2}.$$

   Так как $$16-x^2\in[0;16],$$ то

   $$\sqrt{16-x^2}\in[0;4],$$
   значит,
   $$f(x)\in[1;5].$$

   Следовательно,

   $$\min\limits_{D(f)} f(x)=1,\qquad \max\limits_{D(f)} f(x)=5.$$

4. Функция $$f$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)=2x-5$$ — возрастающая функция.

   При увеличении $$x$$ значение $$g(x)$$ увеличивается, а так как $$f$$ убывает, то $$f(g(x))$$ убывает.

5. Решим уравнение:

   $$x^3+5\sqrt{3x+10}=2,$$
   $$x^3-2=-5\sqrt{3x+10}.$$

   Правая часть не положительна, значит, левая тоже не должна быть положительной. Проверим значение $$x=-2$$:

   $$(-2)^3+5\sqrt{3\cdot(-2)+10}=-8+5\sqrt{4}=-8+10=2.$$

   Подходит.

Ответ

1) $$x=-4,\ 0$$; $$y>0$$ при $$x<-4$$ и $$x>0$$; возрастает на $$[-2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]$$; $$\min\limits_{\mathbb{R}} f(x)=-4$$, $$\max\limits_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует; на $$[-4;-3]$$: $$\min f(x)=-3,$$ $$\max f(x)=0$$.
2) убывает.
3) $$\min\limits_{D(f)} f(x)=1,\ \max\limits_{D(f)} f(x)=5.$$
4) убывает.
5) $$x=-2.$$