Вариант 4 Самостоятельная работа 19 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Математическое моделирование
1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 21 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через 3 ч. Найдите скорость каждого туриста, если один из них потратил на весь путь на 1 ч 45 мин меньше, чем другой.
2. Два маляра, работая одновременно, могут покрасить фасад здания за 3 ч 36 мин. Если же сначала первый маляр
покрасит самостоятельно 2/3 фасада, а затем второй — оставшуюся часть фасада, то весь фасад будет покрашен за 7 ч. За сколько часов может покрасить фасад здания каждый маляр, работая самостоятельно?
3. В двух сплавах массы меди и никеля относятся как 2:7 и 5:4 соответственно. Сколько килограммов первого
сплава и сколько килограммов второго надо взять, что-бы, переплавив их, получить 54 кг нового сплава, в котором массы меди и никеля относятся как 4:5?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого туриста, $$y$$ км/ч — скорость второго.
Тогда за 3 часа они вместе прошли 21 км:
$$3(x+y)=21,$$
откуда
$$x+y=7.$$
Время движения первого туриста на весь путь равно $$\frac{21}{x}$$, второго — $$\frac{21}{y}$$. По условию один из них затратил на $$1\text{ ч }45\text{ мин}=\frac{7}{4}\text{ ч}$$ меньше:
$$\frac{21}{x}-\frac{21}{y}=\frac{7}{4}.$$
Подставим $$y=7-x$$:
$$\frac{21}{x}-\frac{21}{7-x}=\frac{7}{4},$$
$$\frac{3}{x}-\frac{3}{7-x}=\frac{1}{4}.$$
Умножим на $$4x(7-x)$$:
$$12(7-x)-12x=x(7-x),$$
$$84-24x=7x-x^2,$$
$$x^2-31x+84=0.$$
$$D=31^2-4\cdot 84=625,$$
$$x=\frac{31\pm 25}{2}.$$
Получаем $$x=3$$ или $$x=28$$. Так как $$x+y=7$$, подходит только $$x=3$$, тогда $$y=4$$.
Пусть $$x$$ ч требуется первому маляру, $$y$$ ч — второму.
Тогда их совместная производительность:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3\frac{3}{5}}=\frac{5}{18}.$$
Если первый маляр красит $$\frac{2}{3}$$ фасада, а второй — оставшуюся $$\frac{1}{3}$$, то:
$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=7.$$
Умножим на 3:
$$2x+y=21,$$
$$y=21-2x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{21-2x}=\frac{5}{18}.$$
Умножим на $$18x(21-2x)$$:
$$18(21-2x)+18x=5x(21-2x),$$
$$378-36x+18x=105x-10x^2,$$
$$10x^2-123x+378=0.$$
$$D=123^2-4\cdot 10\cdot 378=9,$$
$$x=\frac{123\pm 3}{20}.$$
Получаем $$x=6$$ или $$x=6{,}3$$. Тогда
$$y=21-2x,$$
откуда $$y=9$$ или $$y=8{,}4$$.
Пусть $$x$$ кг — масса первого сплава, $$y$$ кг — масса второго.
Тогда
$$x+y=54.$$
В первом сплаве меди $$\frac{2}{9}$$, никеля $$\frac{7}{9}$$; во втором — меди $$\frac{5}{9}$$, никеля $$\frac{4}{9}$$.
По условию в новом сплаве отношение меди к никелю равно $$4:5$$, значит меди должно быть $$54\cdot \frac{4}{9}=24$$ кг.
Составим уравнение по меди:
$$\frac{2}{9}x+\frac{5}{9}y=24.$$
Подставим $$y=54-x$$:
$$\frac{2}{9}x+\frac{5}{9}(54-x)=24,$$
$$2x+270-5x=216,$$
$$-3x=-54,$$
$$x=18.$$
Тогда
$$y=54-18=36.$$