Вариант 4 Самостоятельная работа 18 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши-Буняковского
1. Для положительных чисел x и y докажите неравенство 18x/y+y/(8x)?3.
2. При b > 5 докажите неравенство b+1/(b-5)?7.
3. Известно, что a^2+b^2=28, c^2+d^2=7. Докажите, что |ac-bd|?14.
4. Известно, что x+y=1. Докажите, что v(x^2+25y^2)+v(y^2+25x^2)?3v2.

1. Пусть $$u=\frac{18x}{y}$$ и $$v=\frac{y}{8x}$$. Тогда при $$x>0$$ и $$y>0$$ числа $$u$$ и $$v$$ положительны, и по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим имеем

   $$\frac{18x}{y}+\frac{y}{8x}\ge 2\sqrt{\frac{18x}{y}\cdot\frac{y}{8x}}=2\sqrt{\frac{18}{8}}=2\sqrt{\frac{9}{4}}=3.$$

2. При $$b>5$$ положим $$t=b-5>0$$. Тогда

   $$b-5+\frac{1}{b-5}=t+\frac{1}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}=2.$$

   Следовательно,

   $$b+\frac{1}{b-5}=5+\left(b-5+\frac{1}{b-5}\right)\ge 5+2=7.$$

3. По неравенству Коши-Буняковского

   $$|ac-bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}.$$

   Тогда

   $$|ac-bd|\le \sqrt{28}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{196}=14.$$

4. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

   $$\sqrt{x^2+25y^2}+\sqrt{y^2+25x^2}\ge \frac{x+5y}{\sqrt{2}}+\frac{y+5x}{\sqrt{2}}.$$

   Так как $$x+y=1$$, получаем

   $$\frac{x+5y}{\sqrt{2}}+\frac{y+5x}{\sqrt{2}}=\frac{6(x+y)}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.$$

   Значит,

   $$\sqrt{x^2+25y^2}+\sqrt{y^2+25x^2}\ge 3\sqrt{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{18x}{y}+\frac{y}{8x}\ge 3$$; 2) $$b+\frac{1}{b-5}\ge 7$$; 3) $$|ac-bd|\le 14$$; 4) $$\sqrt{x^2+25y^2}+\sqrt{y^2+25x^2}\ge 3\sqrt{2}$$.