Вариант 3 Самостоятельная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

1. Найдите область определения функции
f(x)=v(2x-3)+1/(x^2-x-6).
2. Найдите область значений функции:
1) y=2+(x^3)/x; 2) y=(x-3)/x^2.
3. Даны функции f(x)=3x-2 и g(х)=x^2-1. Задайте формулой функцию: 1) g(5х); 2) f(g(x)).
4. Постройте график функции y=(12-3x)/(x^2-4x).
5. Известно, что D(f)=[-2; 4]. Найдите область определения функции y=f(x-1).

Подробный ответ

Для функции $$f(x)=\sqrt{2x-3}+\frac{1}{x^2-x-6}$$ нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:
$$2x-3\ge 0,$$
$$x^2-x-6\ne 0.$$
Разложим знаменатель на множители:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$
Тогда
$$x\ne 3,\quad x\ne -2,$$
а также
$$x\ge \frac{3}{2}.$$
Пересечение этих условий:
$$D(f)=\left[\frac{3}{2};3\right)\cup(3;+\infty).$$
Найдём область значений.
1) $$y=2+\frac{x^3}{x}=2+x^2,\quad x\ne 0.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то
$$y>2.$$
Следовательно,
$$E(y)=(2;+\infty).$$
2) $$y=\frac{x-3}{x^2}.$$
Преобразуем:
$$yx^2=x-3,$$
$$yx^2-x+3=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицателен:
$$D=1-4\cdot y\cdot 3=1-12y\ge 0.$$
Отсюда
$$y\le \frac{1}{12}.$$
Значит,
$$E(y)=\left(-\infty;\frac{1}{12}\right].$$
Даны функции $$f(x)=3x-2$$ и $$g(x)=x^2-1.$$
1) $$g(5x)=(5x)^2-1=25x^2-1.$$
2) $$f(g(x))=3(x^2-1)-2=3x^2-5.$$
Преобразуем функцию:
$$y=\frac{12-3x}{x^2-4x}=\frac{3(4-x)}{x(x-4)}=-\frac{3}{x}.$$
Но при этом из исходного выражения следует ограничение:
$$x^2-4x\ne 0,$$
$$x(x-4)\ne 0,$$
$$x\ne 0,\quad x\ne 4.$$
Значит, график — это график функции $$y=-\frac{3}{x}$$ с выколотой точкой при $$x=4$$, то есть в точке $$\left(4;-\frac{3}{4}\right).$$
Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0.$$
Если $$D(f)=[-2;4],$$ то для функции $$y=f(x-1)$$ нужно, чтобы
$$-2\le x-1\le 4.$$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$$-1\le x\le 5.$$
Следовательно,
$$D=\left[-1;5\right].$$