Вариант 3 Самостоятельная работа 17 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Основные методы доказательства неравенств
1. Докажите неравенство:
1) 4x^2-8xy+5y^2?0;
2) x^2 y^2+x^2+9y^2+1?8xy;
3) 1/(1·6)+1/(6·11)+…+1/(n·(n+5)) < 1/5, где n?N;
4) 16a^2+9b^2+1?12ab-3b-4a.
2. Известно, что x?[0; 3], y?[0; 3], z?[0; 3]. Докажите неравенство x/(6+y)+y/(6+z)+z/(6+x)?1.
$$4x^2-8xy+5y^2=4x^2-8xy+4y^2+y^2=(2x-2y)^2+y^2\ge 0.$$
Неравенство доказано.
$$x^2y^2+x^2+9y^2+1-8xy=x^2y^2-2xy+1+x^2-6xy+9y^2.$$
Тогда
$$x^2y^2+x^2+9y^2+1-8xy=(xy-1)^2+(x-3y)^2\ge 0.$$
Следовательно,
$$x^2y^2+x^2+9y^2+1\ge 8xy.$$
Рассмотрим сумму:
$$\frac1{1\cdot 6}+\frac1{6\cdot 11}+\cdots+\frac1{(5n-4)(5n+1)}.$$
Для каждого слагаемого верно:
$$\frac1{(5k-4)(5k+1)}=\frac15\left(\frac1{5k-4}-\frac1{5k+1}\right).$$
Тогда
$$ \frac1{1\cdot 6}+\frac1{6\cdot 11}+\cdots+\frac1{(5n-4)(5n+1)} =\frac15\left(1-\frac1{5n+1}\right). $$
Так как $$\frac1{5n+1}>0,$$ то
$$\frac15\left(1-\frac1{5n+1}\right)<\frac15.$$
$$16a^2+9b^2+1-12ab+3b+4a$$
$$=16a^2-8a+1+9b^2+6b+9-12ab-12b-4a-8$$
$$=(4a-1)^2+(3b+1)^2+(4a-3b)^2\ge 0.$$
Значит,
$$16a^2+9b^2+1\ge 12ab-3b-4a.$$
Так как $$x,y,z\in[0;3],$$ то
$$x+y\le 6,\quad y+z\le 6,\quad z+x\le 6.$$
Следовательно,
$$6+y\ge x+y+z,\quad 6+z\ge x+y+z,\quad 6+x\ge x+y+z.$$
Тогда
$$\frac{x}{6+y}\le \frac{x}{x+y+z},\quad \frac{y}{6+z}\le \frac{y}{x+y+z},\quad \frac{z}{6+x}\le \frac{z}{x+y+z}.$$
Складывая, получаем
$$\frac{x}{6+y}+\frac{y}{6+z}+\frac{z}{6+x}\le \frac{x+y+z}{x+y+z}=1.$$
Ответ
1) $$4x^2-8xy+5y^2\ge 0$$; 2) $$x^2y^2+x^2+9y^2+1\ge 8xy$$; 3) $$\frac1{1\cdot 6}+\frac1{6\cdot 11}+\cdots+\frac1{(5n-4)(5n+1)}<\frac15$$; 4) $$16a^2+9b^2+1\ge 12ab-3b-4a$$; 5) $$\frac{x}{6+y}+\frac{y}{6+z}+\frac{z}{6+x}\le 1$$.
