Вариант 3 Самостоятельная работа 16 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Системы неравенств с двумя переменными
1. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств {x^2+y^2?5, xy > -2}.
2. Изобразите график неравенства:
1) |x+3y| < 2; 2) v(x+3y) < v(x-2y+2). 3. Изобразите на координатной плоскости ху множество точек, координаты которых удовлетворяют условию max{-2x, 1}=y+3.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 5,\\ xy>-2. \end{cases} $$
Первое неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{5}$$:
$$x^2+y^2\le 5.$$
Второе неравенство равносильно
$$xy>-2 \quad \Longleftrightarrow \quad y>-\dfrac{2}{x}\ \text{при}\ x>0,\qquad y<-\dfrac{2}{x}\ \text{при}\ x<0.$$
Искомое множество решений — часть круга $$x^2+y^2\le 5$$, лежащая в областях, где выполняется $$xy>-2$$.
1) Для неравенства $$|x+3y|<2$$ получаем
$$ -2<x+3y<2, $$
откуда
$$ -x-2<3y<-x+2, $$
$$ -\dfrac{x}{3}-\dfrac{2}{3}<y<-\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}. $$
Это полоса между прямыми $$y=-\dfrac{x}{3}-\dfrac{2}{3}$$ и $$y=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}$$ без самих границ.
2) Для неравенства $$\sqrt{x+3y}<\sqrt{x-2y+2}$$ учитываем область определения:
$$ x+3y\ge 0,\qquad x-2y+2\ge 0. $$
Так как функция корня возрастает, то
$$ x+3y<x-2y+2, $$
$$ 5y<2,\qquad y<\dfrac{2}{5}. $$
Итак, нужно взять пересечение условий
$$ \begin{cases} x+3y\ge 0,\\ x-2y+2\ge 0,\\ y<\dfrac{2}{5}. \end{cases} $$
3) Для уравнения
$$\max\{-2x,1\}=y+3$$
рассмотрим два случая:
1) если $$-2x\ge 1$$, то $$\max\{-2x,1\}=-2x$$ и
$$ -2x=y+3,\qquad y=-2x-3; $$
2) если $$-2x<1$$, то $$\max\{-2x,1\}=1$$ и
$$ 1=y+3,\qquad y=-2. $$
Значит, график состоит из двух частей: луча прямой $$y=-2x-3$$ при $$x\le -\dfrac12$$ и горизонтального луча $$y=-2$$ при $$x>-\dfrac12$$.