Вариант 3 Самостоятельная работа 15 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Неравенства с двумя переменными
Постройте график неравенства:
1) y?x^2+x-2; 2) xy < 6;
3) (2x+y+1)(x-y+3) > 0; 4) (y+1/2 x^2)/|y+2| > 0.
$$y \ge x^2+x-2.$$
Приведём квадратный трёхчлен к виду с вершиной:
$$x^2+x-2=\left(x+\frac12\right)^2-\frac94.$$
Это парабола с ветвями вверх, вершина:
$$x_0=-\frac12,\qquad y_0=-\frac94.$$
Нужно построить саму параболу и заштриховать область выше неё, включая границу.
$$xy<6.$$
Если $$x>0,$$ то
$$y<\frac{6}{x}.$$
Если $$x<0,$$ то
$$y>\frac{6}{x}.$$
Граница — гипербола $$xy=6,$$ она не входит в решение. Нужно заштриховать область, лежащую ниже ветви в I четверти и выше ветви в III четверти.
$$\left(2x+y+1\right)\left(x-y+3\right)>0.$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
$$ \begin{cases} 2x+y+1>0,\\ x-y+3>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2x+y+1<0,\\ x-y+3<0 \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} y>-2x-1,\\ y<x+3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y<-2x-1,\\ y>x+3 \end{cases} $$
Граница не входит в решение, поэтому прямые нужно изображать пунктиром.
$$\frac{y+\frac12 x^2}{|y+2|}>0.$$
Так как $$|y+2|>0$$ при $$y\ne -2,$$ то знак дроби определяется числителем. Получаем систему:
$$ \begin{cases} y+\frac12 x^2>0,\\ y\ne -2 \end{cases} $$
То есть
$$y>-\frac{x^2}{2},\qquad y\ne -2.$$
Нужно взять область выше параболы $$y=-\frac{x^2}{2}$$ и исключить прямую $$y=-2.$$
Ответ
1) Область выше параболы $$y=x^2+x-2$$, включая границу.
2) Область, где $$xy<6$$; граница $$xy=6$$ не входит.
3) $$\left(y>-2x-1 \text{ и } y<x+3\right) \text{ или } \left(y<-2x-1 \text{ и } y>x+3\right).$$
4) $$y>-\frac{x^2}{2},\ y\ne -2.$$
