Вариант 3 Самостоятельная работа 14 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными
Решите систему уравнений:
1) {x/y-x/y=16/15}; 3) {x^2+xy-12y^2=0, 2x^2-3xy+y^2=90};
2) {v(x^2-5)+v(y^2+5)=7, x^2+y^2=29}; 4) {x+y+xy=-19; xy(x+y)=-20}.

Подробный ответ

$$\begin{cases}\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}=\dfrac{16}{15},\\ 4y-5x=15.\end{cases}$$
Пусть $$t=\dfrac{y}{x}$$, тогда $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{t}$$ и
$$t-\dfrac{1}{t}=\dfrac{16}{15}.$$
Умножим на $$15t$$:
$$15t^2-16t-15=0.$$
$$D=16^2+4\cdot 15\cdot 15=1156,$$
$$t_{1,2}=\dfrac{16\pm 34}{30}.$$
Получаем:
$$t_1=-\dfrac35,\qquad t_2=\dfrac53.$$
1) Если $$\dfrac{y}{x}=-\dfrac35,$$ то $$y=-\dfrac35x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$4\left(-\dfrac35x\right)-5x=15,$$
$$-\dfrac{37}{5}x=15,\qquad x=-\dfrac{75}{37}=-2\dfrac{1}{37}.$$
Тогда
$$y=-\dfrac35\cdot\left(-\dfrac{75}{37}\right)=\dfrac{45}{37}=1\dfrac{8}{37}.$$
2) Если $$\dfrac{y}{x}=\dfrac53,$$ то $$y=\dfrac53x.$$ Подставим:
$$4\cdot\dfrac53x-5x=15,$$
$$\dfrac53x=15,\qquad x=9,$$
$$y=\dfrac53\cdot 9=15.$$
$$\begin{cases}\sqrt{x^2-5}+\sqrt{y^2+5}=7,\\ x^2+y^2=29.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y^2=29-x^2.$$
Тогда первое уравнение принимает вид
$$\sqrt{x^2-5}+\sqrt{34-x^2}=7.$$
Обозначим $$a=\sqrt{x^2-5}$$, $$b=\sqrt{34-x^2}$$. Тогда $$a+b=7$$ и
$$a^2+b^2=(x^2-5)+(34-x^2)=29.$$
Следовательно,
$$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=49-29=20,$$
$$ab=10.$$
Тогда
$$\left(\sqrt{x^2-5}\right)\left(\sqrt{34-x^2}\right)=10,$$
$$\sqrt{(x^2-5)(34-x^2)}=10.$$
Возведём в квадрат:
$$ (x^2-5)(34-x^2)=100,$$
$$x^4-39x^2+270=0.$$
Положим $$u=x^2$$. Тогда
$$u^2-39u+270=0,$$
$$D=39^2-4\cdot 270=441,$$
$$u_{1,2}=\dfrac{39\pm 21}{2}.$$
Отсюда
$$u_1=9,\qquad u_2=30.$$
Если $$x^2=9,$$ то $$x=\pm 3,$$ и
$$y^2=29-9=20,\qquad y=\pm 2\sqrt5.$$
Если $$x^2=30,$$ то $$y^2=29-30=-1,$$ что невозможно.
$$\begin{cases}x^2+xy-12y^2=0,\\ 2x^2-3xy+y^2=90.\end{cases}$$
Первое уравнение разложим на множители:
$$x^2+xy-12y^2=(x+4y)(x-3y)=0.$$
Значит, либо $$x=-4y,$$ либо $$x=3y.$$
1) Если $$x=-4y,$$ то
$$2(16y^2)-3(-4y^2)+y^2=90,$$
$$45y^2=90,\qquad y^2=2,$$
$$y=\pm \sqrt2,\qquad x=\mp 4\sqrt2.$$
2) Если $$x=3y,$$ то
$$2(9y^2)-3(3y^2)+y^2=90,$$
$$10y^2=90,\qquad y^2=9,$$
$$y=\pm 3,\qquad x=\pm 9.$$
$$\begin{cases}x+y+xy=-19,\\ xy(x+y)=-20.\end{cases}$$
Пусть $$u=x+y,$$ $$t=xy.$$ Тогда
$$u+t=-19,\qquad ut=-20.$$
Из первого уравнения $$u=-19-t$$. Подставим во второе:
$$t(-19-t)=-20,$$
$$t^2+19t-20=0.$$
$$D=19^2+4\cdot 20=441,$$
$$t_{1,2}=\dfrac{-19\pm 21}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=1,\qquad t_2=-20.$$
1) Если $$xy=1,$$ то $$x+y=-20.$$ Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$z^2+20z+1=0,$$
$$z=-10\pm 3\sqrt{11}.$$
Значит,
$$(-10+3\sqrt{11};\,-10-3\sqrt{11}),\quad (-10-3\sqrt{11};\,-10+3\sqrt{11}).$$
2) Если $$xy=-20,$$ то $$x+y=1.$$ Тогда
$$z^2-z-20=0,$$
$$z=5 \text{ или } z=-4.$$
Значит,
$$(-4;5),\quad (5;-4).$$