Вариант 3 Самостоятельная работа 13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения
Решите систему уравнений:
1) {y^2-xy+x=2, 5y+x=12}; 3) {x^2+5xy=-4, 3xy+16y^2=13};
2) {(x-1)(y+2)=0, x^2+2y^2-4xy=17}; 4) {x^2 y^2+xy^3=192; x^3 y+x^2 y^2=96}.

1. Из второго уравнения выразим $$x$$:
   $$5y+x=12,$$
   $$x=12-5y.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ y^2-y(12-5y)+(12-5y)=2 $$
   $$ y^2-12y+5y^2+12-5y=2 $$
   $$ 6y^2-17y+10=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=17^2-4\cdot 6\cdot 10=289-240=49, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{17\pm 7}{12}. $$
   Тогда
   $$ y_1=\frac{5}{6}, \quad y_2=2. $$
   Найдём соответствующие значения $$x$$:
   $$ x_1=12-5\cdot \frac{5}{6}=\frac{47}{6}, \quad x_2=12-5\cdot 2=2. $$
   Получаем пары:
   $$ \left(\frac{47}{6};\frac{5}{6}\right), \quad (2;2). $$

2. Из первого уравнения:
   $$ (x-1)(y+2)=0. $$
   Значит, либо $$x=1$$, либо $$y=-2$$.

   1) Если $$x=1$$, то
   $$ 1+2y^2-4y=17 $$
   $$ 2y^2-4y-16=0 $$
   $$ y^2-2y-8=0. $$
   Тогда
   $$ D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)=36, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}. $$
   Отсюда
   $$ y_1=-2,\quad y_2=4. $$
   Получаем точки $$ (1;-2) $$ и $$ (1;4) $$.

   2) Если $$y=-2$$, то
   $$ x^2+2\cdot (-2)^2-4x(-2)=17 $$
   $$ x^2+8x-9=0. $$
   Тогда
   $$ D=8^2-4\cdot 1\cdot (-9)=100, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{2}. $$
   Отсюда
   $$ x_1=-9,\quad x_2=1. $$
   Получаем точки $$(-9;-2)$$ и $$(1;-2)$$.

   Итак, решения системы:
   $$ (1;-2),\ (1;4),\ (-9;-2). $$

3. Сложим уравнения:
   $$ x^2+5xy=-4, $$
   $$ 3xy+16y^2=13. $$
   Получаем:
   $$ x^2+8xy+16y^2=9, $$
   $$ (x+4y)^2=9, $$
   $$ x+4y=\pm 3. $$
   Значит,
   $$ x=-4y\pm 3. $$
   Подставим во второе уравнение:
   $$ 3y(-4y\pm 3)+16y^2=13 $$
   $$ -12y^2\pm 9y+16y^2=13 $$
   $$ 4y^2\pm 9y-13=0. $$
   Рассмотрим оба случая.

   1) $$4y^2+9y-13=0$$
   $$ D=9^2+4\cdot 4\cdot 13=289, $$
   $$ y=\frac{-9\pm 17}{8}. $$
   Тогда
   $$ y_1=1,\quad y_2=-\frac{13}{4}. $$
   При $$x=-4y+3$$ получаем:
   $$ (x,y)=(-1,1),\ \left(16,-\frac{13}{4}\right). $$

   2) $$4y^2-9y-13=0$$
   $$ D=9^2+4\cdot 4\cdot 13=289, $$
   $$ y=\frac{9\pm 17}{8}. $$
   Тогда
   $$ y_3=-1,\quad y_4=\frac{13}{4}. $$
   При $$x=-4y-3$$ получаем:
   $$ (x,y)=(1,-1),\ \left(-16,\frac{13}{4}\right). $$

   Итак, решения:
   $$ \left(16,-\frac{13}{4}\right),\ (-1,1),\ (1,-1),\ \left(-16,\frac{13}{4}\right). $$

4. Вынесем общий множитель:
   $$ x^2y^2+xy^3=xy^2(x+y)=192, $$
   $$ x^3y+x^2y^2=x^2y(x+y)=96. $$
   Делим первое уравнение на второе:
   $$ \frac{xy^2(x+y)}{x^2y(x+y)}= \frac{192}{96}=2, $$
   $$ \frac{y}{x}=2, $$
   значит,
   $$ y=2x. $$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ x^2(2x)^2+x(2x)^3=192 $$
   $$ 4x^4+8x^4=192 $$
   $$ 12x^4=192 $$
   $$ x^4=16. $$
   Отсюда
   $$ x=\pm 2. $$
   Тогда
   $$ y=2x \Rightarrow y=\pm 4. $$
   Получаем решения:
   $$ (-2;-4),\ (2;4). $$

Ответ

1) $$\left(\frac{47}{6};\frac{5}{6}\right),\ (2;2)$$;
2) $$(1;-2),\ (1;4),\ (-9;-2)$$;
3) $$\left(16,-\frac{13}{4}\right),\ (-1,1),\ (1,-1),\ \left(-16,\frac{13}{4}\right)$$;
4) $$(-2;-4),\ (2;4)$$.