Вариант 3 Самостоятельная работа 12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными
1. Решите графически систему язавнеиий {x^2+y^2=13, xy=-6}.
2. Определите графически количество решений системы уравнений {|y|=x, y=-x^2+5x+1}.
3. Сколько решений имеет система уравнений {4x+ay=16-a, ax+16y=16} в зависимости от значения параметра a?
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=-6. \end{cases} $$
Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{13}$$, второе — гиперболу $$y=-\dfrac{6}{x}$$.
Точки пересечения графиков: $$(-3;2),\;(-2;3),\;(2;-3),\;(3;-2).$$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} |y|=x,\\ y=-x^2+5x+1. \end{cases} $$
Из уравнения $$|y|=x$$ получаем две прямые: $$y=x$$ и $$y=-x$$, причём $$x\ge 0$$.
График параболы $$y=-x^2+5x+1$$ пересекает эти прямые в двух точках, значит система имеет 2 решения.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 4x+ay=16-a,\\ ax+16y=16. \end{cases} $$
Запишем уравнения в виде функций:
$$ y=-\dfrac{4}{a}x+\dfrac{16}{a}-1, \qquad y=-\dfrac{a}{16}x+1. $$
1) Если прямые параллельны, то
$$ -\dfrac{4}{a}=-\dfrac{a}{16} \quad \Rightarrow \quad a^2=64 \quad \Rightarrow \quad a=\pm 8. $$
2) Проверим случай совпадения прямых. Для $$a=8$$ получаем одно и то же уравнение, значит решений бесконечно много.
Для $$a=-8$$ свободные члены различны, поэтому прямые параллельны и решений нет.
При всех остальных значениях $$a$$ прямые пересекаются в одной точке, значит решение одно.
Ответ
1) $$(-3;2),\;(-2;3),\;(2;-3),\;(3;-2)$$; 2) 2 решения; 3) при $$a\ne \pm 8$$ — одно решение, при $$a=-8$$ — решений нет, при $$a=8$$ — бесконечно много решений.
