Вариант 3 Самостоятельная работа 9 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решение неравенств методом интервалов
1. Решите неравенство:
1) (x+4)(x-9)(x-17) < 0; 2) (x-8)^8 (5x+1)^5 (11-x) > 0;
3) 3x/(x^2-3x+2)+5/(x-1)?4/(x-2);
4) (x^2-25)v(x^2-9)?0.
2. Найдите множество решений неравенства |x-a|(3x^2-2x-1)?0 в зависимости от значения параметра a.

1. $$ (x+4)(x-9)(x-17)<0 $$

   Нули произведения: $$x=-4,\; x=9,\; x=17.$$

   Знаки на промежутках чередуются, поэтому произведение отрицательно на промежутках

   $$(-\infty;-4)\cup(9;17).$$

2. $$ (x-8)^8(5x+1)^5(11-x)>0 $$

   Так как $$ (x-8)^8\ge 0 $$ и при $$x\ne 8$$ этот множитель положителен, знак выражения определяется произведением

   $$ (5x+1)(11-x)>0, \quad x\ne 8. $$

   Нули: $$x=-\frac15,\; x=11.$$

   Тогда

   $$ -\frac15<x<11, \quad x\ne 8. $$

   Следовательно,

   $$\left(-\frac15;8\right)\cup(8;11).$$

3. $$ \frac{3x}{x^2-3x+2}+\frac{5}{x-1}\ge \frac{4}{x-2} $$

   ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 2.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{3x+5(x-2)-4(x-1)}{(x-1)(x-2)}\ge 0 $$

   $$ \frac{3x+5x-10-4x+4}{(x-1)(x-2)}\ge 0 $$

   $$ \frac{4x-6}{(x-1)(x-2)}\ge 0 $$

   Критические точки: $$x=1,\; x=\frac32,\; x=2.$$

   По методу интервалов получаем

   $$ (1;\tfrac32]\cup(2;+\infty). $$

4. $$ (x^2-25)\sqrt{x^2-9}\ge 0 $$

   ОДЗ: $$x^2-9\ge 0,$$ то есть

   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

   Так как $$\sqrt{x^2-9}\ge 0,$$ то неравенство выполняется, когда

   $$x^2-25\ge 0,$$

   то есть

   $$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$(-\infty;-5]\cup[-3;3]\cup[5;+\infty).$$

5. $$ |x-a|(3x^2-2x-1)\le 0 $$

   Так как $$|x-a|\ge 0,$$ то произведение не положительно только тогда, когда

   $$|x-a|=0 \quad \text{или} \quad 3x^2-2x-1\le 0.$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$ 3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)\le 0 $$

   Отсюда

   $$x\in\left[-\frac13;1\right].$$

   Если $$a\in\left[-\frac13;1\right],$$ то точка $$x=a$$ уже входит в этот промежуток, значит множество решений:

   $$\left[-\frac13;1\right].$$

   Если $$a\notin\left[-\frac13;1\right],$$ то к этому промежутку добавляется точка $$x=a.$$

Ответ

1) $$(-\infty;-4)\cup(9;17)$$;

2) $$\left(-\frac15;8\right)\cup(8;11)$$;

3) $$(1;\tfrac32]\cup(2;+\infty)$$;

4) $$(-\infty;-5]\cup[-3;3]\cup[5;+\infty)$$;

5) если $$a\in\left[-\frac13;1\right],$$ то $$x\in\left[-\frac13;1\right]$$; если $$a\notin\left[-\frac13;1\right],$$ то $$x\in\left[-\frac13;1\right]\cup\{a\}.$$