Вариант 3 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решение квадратных неравенств
1. Решите неравенство:
1) -x^2-x+30 < 0;
2) 3x^2+2x+4 > 0;
3) 16x^2+24x+9?0.
2. Найдите область определения функции
y=v(x^2-x-30)+(2x-1)/v(36-4x).
3. Решите неравенство |x^2-15| > x+15.
4. При каких значениях параметра a неравенство ax^2-4x+a+3 < 0 выполняется при всех действительных значениях x?
$$-x^2-x+30<0$$
Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$x^2+x-30>0$$
Найдём корни уравнения $$x^2+x-30=0$$:
$$D=1+120=121$$
$$x_1=\frac{-1-11}{2}=-6,\quad x_2=\frac{-1+11}{2}=5$$Тогда
$$ (x+6)(x-5)>0 $$
Отсюда
$$x<-6 \quad \text{или} \quad x>5$$
$$3x^2+2x+4>0$$
Вычислим дискриминант:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot 4=4-48=-44$$
Так как $$D<0$$ и старший коэффициент положительный, то
$$3x^2+2x+4>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
$$16x^2+24x+9\le 0$$
Заметим, что
$$16x^2+24x+9=(4x+3)^2$$
Тогда
$$ (4x+3)^2\le 0 $$
Квадрат неотрицателен, значит возможно только равенство нулю:
$$4x+3=0,\quad x=-\frac34$$
$$y=\sqrt{x^2-x-30}+\frac{2x-1}{\sqrt{36-4x}}$$
Найдём область определения.
Для корня в числителе нужно:
$$x^2-x-30\ge 0$$
$$ (x-6)(x+5)\ge 0 $$
Отсюда
$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 6$$
Для знаменателя нужно:
$$36-4x>0$$
$$x<9$$
Пересекаем условия:
$$(-\infty;-5]\cup[6;9)$$
$$|x^2-15|>x+15$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x^2-15\ge 0$$, тогда $$|x^2-15|=x^2-15$$ и
$$x^2-15>x+15$$
$$x^2-x-30>0$$
$$ (x+5)(x-6)>0 $$
$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>6$$
2) $$x^2-15<0$$, тогда $$|x^2-15|=15-x^2$$ и
$$15-x^2>x+15$$
$$-x^2-x>0$$
$$x(x+1)<0$$
$$-1<x<0$$
Объединяя решения, получаем:
$$(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(6;+\infty)$$
$$ax^2-4x+a+3<0$$
Неравенство должно выполняться при всех действительных $$x$$. Для квадратичной функции это возможно, если:
$$a<0$$ и дискриминант отрицателен:
$$D=(-4)^2-4a(a+3)<0$$
$$16-4a^2-12a<0$$
$$a^2+3a-4>0$$
$$ (a+4)(a-1)>0 $$
Отсюда
$$a<-4 \quad \text{или} \quad a>1$$
С учётом условия $$a<0$$ получаем:
$$a<-4$$
Ответ
1) $$(-\infty;-6)\cup(5;+\infty)$$;
2) $$(-\infty;+\infty)$$;
3) $$-\frac34$$;
4) $$(-\infty;-5]\cup[6;9)$$;
5) $$(-\infty;-5)\cup(-1;0)\cup(6;+\infty)$$;
6) $$a<-4$$.
