Вариант 3 Самостоятельная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Квадратичная функция, её график и свойства
1. Постройте график функции f(x)=x^2+2x-3. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства: a) f(x)?0; б) f(х) < 0; 4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) [-3; 4]; б) [1; 4]. 2. Пусть D — дискриминант квадратного трёхчлена ax^2+bx+c. Изобразите схематически график квадратичной функции y=ax^2+bx+c, если a < 0, D > 0, c < 0, -b/(2a) < 0. 3. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x^2-2ax+a^2-4a+12=0 принимает наименьшее значение?

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+2x-3.$$

Найдём координаты вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$

$$y_0=f(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)-3=1-2-3=-4.$$

Значит, вершина параболы — точка $$(-1;\,-4),$$ ветви направлены вверх.

Тогда:

1) область значений функции: $$E(y)=[-4;\,+\infty);$$

2) функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и возрастает на $$[-1;\,+\infty);$$

3) найдём нули функции:

$$x^2+2x-3=0,$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2},\quad x_1=-3,\; x_2=1.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$f(x)\ge 0 \text{ при } x\in(-\infty;\,-3]\cup[1;\,+\infty),$$

$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-3;\,1).$$

4) На отрезке $$[-3;\,4]$$ наименьшее значение достигается в вершине и равно $$-4,$$ а наибольшее — на правом конце отрезка:

$$f(4)=4^2+2\cdot 4-3=21.$$

На отрезке $$[1;\,4]$$ наименьшее значение равно $$0$$, так как $$f(1)=0,$$ а наибольшее снова равно $$21.$$

2) Для функции $$y=ax^2+bx+c$$ выполнены условия:

$$a<0,$$ значит, ветви параболы направлены вниз;

$$D>0,$$ значит, график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках;

$$c<0,$$ значит, график пересекает ось $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$;

$$-\frac{b}{2a}<0,$$ значит, абсцисса вершины отрицательна, то есть вершина расположена левее оси $$Oy.$$

3) По теореме Виета произведение корней уравнения

$$x^2-2ax+a^2-4a+12=0$$

равно

$$x_1x_2=a^2-4a+12.$$

Рассмотрим выражение:

$$a^2-4a+12=(a-2)^2+8.$$

Наименьшее значение оно принимает при $$a=2,$$ и это значение равно $$8.$$

Ответ

1) $$E(y)=[-4;\,+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$, возрастает на $$[-1;\,+\infty);$$
$$f(x)\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;\,-3]\cup[1;\,+\infty),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-3;\,1);$$
на $$[-3;\,4]$$: $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=21;$$ на $$[1;\,4]$$: $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=21.$$

2) Парабола направлена вниз, пересекает ось $$Ox$$ в двух точках, ось $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$, вершина левее оси $$Oy.$$

3) $$a=2.$$