Вариант 3 Самостоятельная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Построение графиков функций y=f(|x|) и y=|f(x)|
1. Постройте график функции:
1) y=|vx-5|; 2) y=v(|x|-5);
3) y=v|x-5|; 3) y=v(|x-5|-5).
2. Функция f такова, что D(f)=[-1; 5) и E(f)=[-8; 6). Найдите область определения и область значений функции |f(|х|)|.
3. При каких значениях параметра а уравнение |2|x|-3|=x-a имеет три корня?

Подробный ответ

1) $$y=\left|\sqrt{x}-5\right|.$$
График функции $$y=\sqrt{x}$$ при $$x\ge 0$$ отражаем относительно оси $$Ox$$ в той части, где $$\sqrt{x}-5<0$$, и оставляем без изменения там, где $$\sqrt{x}-5\ge 0$$. Нуль функции:
$$\sqrt{x}-5=0 \Rightarrow x=25.$$
Значит, график проходит через точку $$\left(25;0\right)$$ и имеет вид, симметричный относительно прямой $$x=25$$ по модулю значения.
2) $$y=\sqrt{|x|-5}.$$
Для существования корня нужно:
$$|x|-5\ge 0 \Rightarrow |x|\ge 5 \Rightarrow x\le -5 \text{ или } x\ge 5.$$
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $$Oy$$, с началом в точках $$(-5;0)$$ и $$\left(5;0\right)$$.
3) $$y=\sqrt{|x-5|}.$$
Это график функции $$y=\sqrt{|x|}$$, сдвинутый вправо на 5 единиц. Минимум достигается при $$x=5$$:
$$y_{\min}=0.$$
График имеет вершину в точке $$\left(5;0\right)$$ и симметричен относительно прямой $$x=5$$.
4) $$y=\sqrt{|x-5|-5}.$$
Для области определения нужно:
$$|x-5|-5\ge 0 \Rightarrow |x-5|\ge 5.$$
Отсюда:
$$x-5\le -5 \text{ или } x-5\ge 5,$$
$$x\le 0 \text{ или } x\ge 10.$$
График состоит из двух ветвей с вершинами в точках $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(10;0\right)$$.
Пусть $$D(f)=[-1;5)$$, $$E(f)=[-8;6)$$. Найдём область определения функции $$|f(|x|)|$$.
Для существования $$f(|x|)$$ нужно, чтобы $$|x|\in [-1;5)$$. Так как $$|x|\ge 0$$, получаем:
$$0\le |x|<5 \Rightarrow -5<x<5.$$
Значит,
$$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-5;5).$$
Так как значения функции $$f$$ лежат в промежутке $$[-8;6)$$, то после взятия модуля получаем:
$$E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;8].$$
Решим уравнение $$|2|x|-3|=x-a$$ и найдём, при каких $$a$$ оно имеет три корня.
Рассмотрим случаи.
1) $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x$$ и
$$|2x-3|=x-a.$$
Это даёт две прямые:
$$2x-3=x-a \Rightarrow x=3-a,$$
$$-(2x-3)=x-a \Rightarrow x=\frac{3+a}{3}.$$
Нужно, чтобы обе точки были неотрицательны и давали разные корни.
2) $$x<0.$$ Тогда $$|x|=-x$$ и
$$|-2x-3|=x-a.$$
Так как при $$x<0$$ левая часть неотрицательна, подбираем значения $$a$$ так, чтобы появился ещё один корень на отрицательной полуоси.
По графику левой и правой частей три точки пересечения получаются при
$$a=-3 \text{ и } a=-1{,}5.$$