Вариант 3 Самостоятельная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Построение графиков функций y=f(x)+b и у=f(x+a)
1. Каковы координаты вершины параболы:
1) y=x^2+12;
2) y=(x-7)^2;
3) y=(x+20)^2+1?
2. Постройте график функции y=vx. Используя этот график, постройте график функции:
1) y=vx+1; 2) y=1+v(x+2).
3. Постройте график функции y=3x/(x+2).
4. Сколько корней имеет уравнение |x+2|=a-x^2 в зависимости от значения параметра a?

Подробный ответ

Парабола $$y=x^2+12$$ получается из графика $$y=x^2$$ сдвигом вверх на $$12$$, поэтому вершина имеет координаты $$\left(0;12\right)$$.
Для $$y=(x-7)^2$$ вершина: $$\left(7;0\right)$$.
Для $$y=(x+20)^2+1$$ вершина: $$\left(-20;1\right)$$.
График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем:
- для $$y=\sqrt{x}+1$$ — вверх на $$1$$;
- для $$y=1+\sqrt{x+2}$$ — влево на $$2$$ и вверх на $$1$$.
Преобразуем функцию:
$$ y=\frac{3x}{x+2}=\frac{3x+6-6}{x+2}=3-\frac{6}{x+2}. $$
Это гипербола с асимптотами $$x=-2$$ и $$y=3$$.
Рассмотрим уравнение $$|x+2|=a-x^2$$.
Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$a-x^2\ge 0$$.
Решим по случаям:
1) Если $$x\ge -2$$, то $$|x+2|=x+2$$ и
$$ x+2=a-x^2 \\ x^2+x+(2-a)=0. $$
Дискриминант:
$$ D=1-4(2-a)=4a-7. $$
Корни появляются при $$4a-7\ge 0$$, то есть при $$a\ge \frac{7}{4}$$.
2) Если $$x<-2$$, то $$|x+2|=-x-2$$ и
$$ -x-2=a-x^2 \\ x^2-x-(a+2)=0. $$
Дискриминант:
$$ D=1+4(a+2)=4a+9>0 $$
при всех $$a$$, но подходящий корень должен удовлетворять условию $$x<-2$$.
В итоге:
- при $$a<\frac{7}{4}$$ корней нет;
- при $$a=\frac{7}{4}$$ один корень;
- при $$a>\frac{7}{4}$$ два корня.