Вариант 3 Самостоятельная работа 34 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы
1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) -96, 24, -6, … ; 2) 15, 5v3, 5, … .
2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:
1) 0,444… ; 2) 3,7(32).
3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q где |q| < 1, сумма членов с нечётными номерами равна 45. а сумма членов с чётными номерами равна 9. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Подробный ответ

Найдём знаменатель и сумму бесконечной геометрической прогрессии.
1) $$-96,\ 24,\ -6,\ldots$$
$$q=\frac{24}{-96}=-\frac14$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-96}{1-(-\frac14)}=\frac{-96}{1+\frac14}=\frac{-96}{\frac54}=-76{,}8$$
2) $$15,\ 5\sqrt3,\ 5,\ldots$$
$$q=\frac{5\sqrt3}{15}=\frac{\sqrt3}{3}$$
$$S=\frac{15}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{45}{3-\sqrt3}=\frac{45(3+\sqrt3)}{9-3}=7{,}5(3+\sqrt3)$$
Запишем числа в виде обыкновенной дроби.
1) $$0{,}444\ldots=0{,}4+0{,}04+0{,}004+\ldots$$
Это бесконечная геометрическая прогрессия, где
$$b_1=0{,}4,\quad q=0{,}1$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}4}{1-0{,}1}=\frac{0{,}4}{0{,}9}=\frac49$$
2) $$3{,}7(32)=3{,}7+0{,}032+0{,}00032+\ldots$$
$$S=3{,}7+\frac{0{,}032}{1-0{,}01}=\frac{37}{10}+\frac{32}{990}=\frac{739}{198}$$
Пусть сумма членов с нечётными номерами равна $$45$$, а с чётными — $$9$$.
Тогда сумма всех членов прогрессии:
$$S=45+9=54$$
Для бесконечной геометрической прогрессии сумма чётных членов равна сумме нечётных, умноженной на $$q$$:
$$9=45q,\quad q=\frac15$$
Теперь найдём первый член:
$$S=\frac{b_1}{1-q}$$
$$54=\frac{b_1}{1-\frac15}=\frac{b_1}{\frac45}$$
$$b_1=54\cdot\frac45=43{,}2$$