Вариант 3 Самостоятельная работа 33 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма n первых членов геометрической прогрессии
1. Геометрическая прогрессия (b_n) задана формулой n-го члена b_n=5·2^(n+1). Найдите сумму семи первых членов прогрессии.
2. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна 1 248. Найдите n, если первый член прогрессии равен 8, а знаменатель прогрессии равен 5.
3. Для любого натурального n сумму n первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле S_n=3(4^n-1). Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

1. Найдём первые члены прогрессии:

   $$b_n=5\cdot 2^{n+1}$$

   $$b_1=5\cdot 2^2=20,\quad b_2=5\cdot 2^3=40$$

   Знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{40}{20}=2$$

   Тогда сумма первых семи членов:

   $$S_7=\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}=\frac{20(2^7-1)}{2-1}=20\cdot 127=2540$$

2. Используем формулу суммы геометрической прогрессии:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

   Подставим данные:

   $$1248=\frac{8(5^n-1)}{5-1}$$

   $$1248=2(5^n-1)$$

   $$5^n-1=624$$

   $$5^n=625=5^4$$

   Следовательно, $$n=4$$.

3. Дана формула суммы:

   $$S_n=3(4^n-1)$$

   Найдём первые члены последовательности:

   $$S_1=3(4-1)=9$$

   $$S_2=3(16-1)=45$$

   Тогда

   $$b_1=S_1=9,\quad b_2=S_2-S_1=45-9=36$$

   Знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{36}{9}=4$$

   Проверим формулу суммы геометрической прогрессии:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{9(4^n-1)}{4-1}=3(4^n-1)$$

   Получили данную в условии формулу, значит последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ

1) 2540; 2) 4; 3) последовательность является геометрической прогрессией.