Вариант 3 Самостоятельная работа 32 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Геометрическая прогрессия
1. Между числами 81 и 256 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b_6=4b_4 и b_2+b_5=108.
3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 4, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Подробный ответ

Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$81,\ b_2,\ b_3,\ b_4,\ 256.$$ Тогда
$$b_5=b_1q^4=256,\quad 81q^4=256,$$
откуда
$$q^4=\frac{256}{81},\quad q=\pm\frac{4}{3}.$$
Найдём промежуточные члены:
$$b_2=81q=\pm108,$$
$$b_3=b_2q=144,$$
$$b_4=b_3q=\pm192.$$
Получаем две прогрессии:
$$81;\ -108;\ 144;\ -192;\ 256$$
или
$$81;\ 108;\ 144;\ 192;\ 256.$$
Из условий $$b_6=4b_4$$ и $$b_2+b_5=108$$ имеем:
$$b_1q^5=4b_1q^3.$$
Так как $$b_1\neq 0,$$ то
$$q^2=4,\quad q=\pm2.$$
Далее
$$b_2+b_5=b_1q+b_1q^4=108.$$
1) Если $$q=2,$$ то
$$2b_1+16b_1=108,$$
$$18b_1=108,\quad b_1=6.$$
2) Если $$q=-2,$$ то
$$-2b_1+16b_1=108,$$
$$14b_1=108,\quad b_1=\frac{54}{7}=7\frac{5}{7}.$$
Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$a_1,\ a_2,\ a_3.$$ Тогда
$$a_1+a_2+a_3=15,\quad 3a_2=15,\quad a_2=5.$$
Обозначим разность прогрессии через $$d$$. Тогда
$$a_1=5-d,\quad a_3=5+d.$$
После прибавления указанных чисел получаем геометрическую прогрессию:
$$5-d+1,\ 5+1,\ 5+d+4,$$
то есть
$$6-d,\ 6,\ 9+d.$$
Для геометрической прогрессии выполняется
$$6^2=(6-d)(9+d).$$
Тогда
$$36=54+3d-d^2,$$
$$d^2-3d-18=0.$$
Решаем уравнение:
$$D=9+72=81,$$
$$d_1=\frac{3-9}{2}=-3,\quad d_2=\frac{3+9}{2}=6.$$
При $$d=-3$$ получаем
$$a_1=2,\quad a_2=5,\quad a_3=8.$$
При $$d=6$$ получаем
$$a_1=-1,\quad a_2=5,\quad a_3=11.$$