Вариант 3 Самостоятельная работа 31 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма n первых членов арифметической прогрессии
1. Арифметическая прогрессия (a_n) задана формулой n-го члена: a_n=3n-1. Найдите сумму сорока семи первых членов прогрессии.
2. Для любого натурального значения n сумму n первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле S_n=5n^2-3n. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
3. Пятнадцатый член арифметической прогрессии равен 21. Найдите сумму двадцати девяти первых членов прогрессии.

1. Дана формула n-го члена арифметической прогрессии:

   $$a_n=3n-1$$

   Найдём первый и сорок седьмой члены:

   $$a_1=3\cdot 1-1=2$$

   $$a_{47}=3\cdot 47-1=140$$

   Тогда сумма первых 47 членов равна:

   $$S_{47}=\frac{a_1+a_{47}}{2}\cdot 47=\frac{2+140}{2}\cdot 47=71\cdot 47=3337$$

2. По формуле суммы:

   $$S_n=5n^2-3n$$

   Найдём первые суммы:

   $$S_1=5\cdot 1^2-3\cdot 1=2$$

   $$S_2=5\cdot 2^2-3\cdot 2=20-6=14$$

   Тогда

   $$a_1=S_1=2$$

   $$a_2=S_2-S_1=14-2=12$$

   Разность прогрессии:

   $$d=a_2-a_1=12-2=10$$

3. Известно, что

   $$a_{15}=a_1+14d=21$$

   Найдём сумму 29 первых членов:

   $$S_{29}=\frac{a_1+a_{29}}{2}\cdot 29$$

   Так как

   $$a_{29}=a_1+28d,$$

   то

   $$S_{29}=\frac{a_1+a_1+28d}{2}\cdot 29=\frac{2(a_1+14d)}{2}\cdot 29$$

   $$S_{29}=a_{15}\cdot 29=21\cdot 29=609$$

Ответ

1) $$3337$$; 2) $$a_1=2,\ d=10$$; 3) $$609$$.