Вариант 3 Самостоятельная работа 30 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Арифметическая прогрессия
1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 2; 1,8; 1,6; … .
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (a_n), если a_3+a_5=2 и a_7+a_10=4.
3. При каком значении y значения выражений y^2+2, 4y+2, 3y+6 и y^2-4y+18 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.
Для арифметической прогрессии $$2;\ 1{,}8;\ 1{,}6;\ldots$$ имеем
$$a_1=2,\quad d=1{,}8-2=-0{,}2.$$
Общий член:
$$a_n=a_1+d(n-1)=2-0{,}2(n-1).$$
Найдём первый отрицательный член:
$$2-0{,}2(n-1)<0$$
$$2-0{,}2n+0{,}2<0$$
$$2{,}2<0{,}2n$$
$$n>11.$$
Значит, первый отрицательный член — это $$a_{12}$$.
Из условий:
$$a_3+a_5=-2,\quad a_7+a_{10}=4.$$
Так как $$a_n=a_1+d(n-1),$$ получаем:
$$a_1+2d+a_1+4d=-2,$$
$$2a_1+6d=-2,$$
$$a_1+3d=-1.$$
Из второго уравнения:
$$a_1+6d+a_1+9d=4,$$
$$2a_1+15d=4.$$
Подставим $$a_1=-3d-1$$ во второе уравнение:
$$2(-3d-1)+15d=4,$$
$$9d=6,$$
$$d=\frac{2}{3}.$$
Тогда
$$a_1=-3\cdot \frac{2}{3}-1=-3.$$
Пусть числа
$$y^2+2,\quad 4y+2,\quad 3y+6,\quad y^2-4y+18$$
являются последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда средний член равен среднему арифметическому соседних:
$$4y+2=\frac{(y^2+2)+(3y+6)}{2},$$
$$3y+6=\frac{(4y+2)+(y^2-4y+18)}{2}.$$
Из первого равенства:
$$8y+4=y^2+3y+8,$$
$$y^2-5y+4=0,$$
$$y=1 \text{ или } y=4.$$
Из второго равенства:
$$6y+12=y^2+20,$$
$$y^2-6y+8=0,$$
$$y=2 \text{ или } y=4.$$
Общее значение: $$y=4.$$
Тогда члены прогрессии:
$$y^2+2=18,\quad 4y+2=18,\quad 3y+6=18,\quad y^2-4y+18=18.$$
Ответ
1) $$a_{12}$$; 2) $$a_1=-3,\ d=\frac{2}{3}$$; 3) $$y=4,$$ члены прогрессии: $$18,\ 18,\ 18,\ 18.$$
