Вариант 3 Самостоятельная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Четные и нечётные функции
1. Функция f нечётная. Может ли выполняться равенство f(2)·f(-2)=1?
2. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=(x^4-x^3)/(x-1);
2) y=x^6-2x;
3) y=v(4-x)-v(4+x).
3. Известно, что min([-5; -1], f(x))=-3, max([-5; -1], f(x))=2. Найдите min([1; 5], f(x)) и max([1; 5], f(x)), если:
1) f — чётная функция; 2) f — нечётная функция.
4. При каких значениях параметра a уравнение x^4+ax^2+a^2+4a-5=0 имеет единственный корень?

Подробный ответ

Так как функция $$f$$ нечётная, то $$f(-2)=-f(2)$$. Тогда
$$f(2)\cdot f(-2)=f(2)\cdot(-f(2))=-(f(2))^2.$$
Это число не может быть равно $$1$$, значит, равенство невозможно.
Исследуем функции на чётность.
1) $$y=\dfrac{x^4-x^3}{x-1}, \quad x\ne 1.$$
Упростим:
$$\dfrac{x^4-x^3}{x-1}=\dfrac{x^3(x-1)}{x-1}=x^3,\quad x\ne 1.$$
Но область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
2) $$y=x^6-2x.$$
Найдём $$y(-x)$$:
$$y(-x)=(-x)^6-2(-x)=x^6+2x.$$
Это не равно ни $$y(x)=x^6-2x$$, ни $$-y(x)=-x^6+2x$$. Значит, функция общего вида.
3) $$y=\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}.$$
Область определения: $$4-x\ge 0$$ и $$4+x\ge 0$$, то есть $$-4\le x\le 4.$$
Тогда
$$y(-x)=\sqrt{4-(-x)}-\sqrt{4+(-x)}=\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
Известно, что на отрезке $$[-5; -1]$$:
$$\min f(x)=-3,\qquad \max f(x)=2.$$
1) Если $$f$$ — чётная функция, то значения на отрезке $$[1; 5]$$ такие же, как на $$[-5; -1]$$:
$$\min_{[1;5]} f(x)=-3,\qquad \max_{[1;5]} f(x)=2.$$
2) Если $$f$$ — нечётная функция, то значения на $$[1; 5]$$ получаются с противоположным знаком:
$$\min_{[1;5]} f(x)=-2,\qquad \max_{[1;5]} f(x)=3.$$
Рассмотрим уравнение
$$x^4+ax^2+a^2+4a-5=0.$$
Это чётное уравнение, поэтому если $$x_0$$ — корень, то и $$-x_0$$ — корень. Единственный корень возможен только при $$x=0$$.
Подставим $$x=0$$:
$$a^2+4a-5=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$
$$a=\frac{-4\pm 6}{2}.$$
Получаем:
$$a_1=-5,\qquad a_2=1.$$
Проверим.
При $$a=-5$$:
$$x^4-5x^2=0,$$
$$x^2(x^2-5)=0,$$
откуда $$x=0,\ \pm\sqrt5$$ — не единственный корень.
При $$a=1$$:
$$x^4+x^2=0,$$
$$x^2(x^2+1)=0,$$
откуда единственный действительный корень $$x=0$$.