Вариант 3 Самостоятельная работа 29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Числовые последовательности
1. Найдите три первых члена последовательности (a_n), если a_1=5, a_(n+1)=-3a_n+2.
2. Последовательность (b_n) задана формулой n-го члена b_n=7n+1. Является ли членом этой последовательности число: 1) 36; 2) 41? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
3. Последовательность (a_n) задана формулой n-го члена a_n=n^2-6n+2. Найдите количество членов этой последовательности, которые меньше числа 18.
4. Найдите все такие значения a, при которых последовательность, заданная условиями x_1=a, x_(n+1)=x_n^2-5x_n+5, является стационарной.

1. Найдём первые три члена последовательности:

   $$a_1=5,$$
   $$a_2=-3a_1+2=-3\cdot 5+2=-13,$$
   $$a_3=-3a_2+2=-3\cdot(-13)+2=41.$$

   Ответ: $$5;\,-13;\,41.$$

2. Проверим, является ли число членом последовательности $$b_n=7n+1$$.

   1) Для числа $$36$$:
   $$7n+1=36,$$
   $$7n=35,$$
   $$n=5.$$
   Значит, $$36$$ является членом последовательности, это $$5$$-й член.

   2) Для числа $$41$$:
   $$7n+1=41,$$
   $$7n=40,$$
   $$n=\frac{40}{7}.$$
   Так как $$n$$ не является натуральным числом, число $$41$$ не является членом последовательности.

   Ответ: 1) $$5$$; 2) нет.

3. Найдём, сколько членов последовательности $$a_n=n^2-6n+2$$ меньше числа $$18$$:

   $$n^2-6n+2<18,$$
   $$n^2-6n-16<0,$$
   $$(n-8)(n+2)<0.$$

   Неравенство выполняется при $$-2<n<8$$. Так как $$n$$ — натуральное число, получаем:

   $$n=1,2,3,4,5,6,7.$$

   Таких членов $$7$$.

   Ответ: $$7.$$

4. Последовательность стационарна, если все её члены равны одному и тому же числу. Тогда должно выполняться:

   $$x_1=a,$$
   $$x_{n+1}=x_n^2-5x_n+5,$$
   $$a=a^2-5a+5.$$

   Решим уравнение:

   $$a^2-6a+5=0,$$
   $$(a-1)(a-5)=0.$$

   Отсюда:

   $$a=1 \text{ или } a=5.$$

   Ответ: $$1;\,5.$$