Вариант 3 Самостоятельная работа 28 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики
1. В классе учится 28 человек, из которых 6 — отличники. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 ученика класса окажутся отличниками?
2. На полке стоят 10 книг по математике, 8 книг по физике и 5 книг по биологии. Наугад выбирают 11 книг. Какова вероятность того, что среди выбранных книг окажутся 6 книг по математике, 3 книги по физике и 2 книги по биологии?
3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «СТЕКЛО». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «СЕЛО»?
Число всех способов выбрать 3 учеников из 28:
$$n=C_{28}^{3}=\frac{28!}{25!\cdot 3!}=\frac{28\cdot 27\cdot 26}{3\cdot 2}=3276.$$
Число благоприятных исходов — выбрать 3 отличников из 6:
$$m=C_{6}^{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2}=20.$$
Тогда
$$P=\frac{m}{n}=\frac{20}{3276}=\frac{5}{819}.$$
Число всех способов выбрать 11 книг из 23:
$$n=C_{23}^{11}.$$
Число благоприятных исходов:
$$m=C_{10}^{6}\cdot C_{8}^{3}\cdot C_{5}^{2}.$$
Вычислим:
$$C_{10}^{6}=210,\quad C_{8}^{3}=56,\quad C_{5}^{2}=10.$$
Тогда
$$m=210\cdot 56\cdot 10=117600.$$
А
$$C_{23}^{11}=1352078.$$
Следовательно,
$$P=\frac{117600}{1352078}=\frac{8400}{96577}.$$
Из слова «СТЕКЛО» выбирают 4 буквы. Чтобы можно было составить слово «СЕЛО», нужно выбрать буквы С, Е, Л, О.
Число всех способов выбрать 4 буквы из 6:
$$n=C_{6}^{4}=15.$$
Благоприятный исход только один:
$$m=1.$$
Тогда
$$P=\frac{1}{15}.$$
Ответ
1) $$\frac{5}{819}$$; 2) $$\frac{8400}{96577}$$; 3) $$\frac{1}{15}$$.
