Вариант 3 Самостоятельная работа 10 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки
1. При каких значениях параметра а все корни уравнения x^2+(5a+2)x+10a=0 принадлежат промежутку (-3; 1)?
2. Найдите все значения параметра a, при которых один из корней квадратного уравнения ax^2+x+4=0 больше 3, а другой меньше 3.
3. При каких значениях параметра a корни уравнения x^2+(2a-14)x+a^2-a-12=0 являются положительными числами?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение
$$x^2+(5a+2)x+10a=0.$$
Найдём корни:
$$D=(5a+2)^2-4\cdot 10a=25a^2-20a+4=(5a-2)^2.$$
Тогда
$$ x_{1,2}=\frac{-(5a+2)\pm(5a-2)}{2}, $$
откуда
$$x_1=-5a,\qquad x_2=-2.$$
Оба корня должны принадлежать промежутку $$(-3;1).$$
Для корня $$x_2=-2$$ это условие выполняется. Для корня $$x_1=-5a$$ получаем:
$$-3<-5a<1.$$
Делим на $$-5$$, меняя знаки неравенств:
$$\frac{3}{5}>a>-\frac{1}{5},$$
то есть
$$-\frac{1}{5}<a<\frac{3}{5}.$$
Рассмотрим уравнение
$$ax^2+x+4=0.$$
Чтобы один корень был больше $$3$$, а другой меньше $$3$$, число $$3$$ должно лежать между корнями. Значит, при подстановке $$x=3$$ значение квадратного трёхчлена должно быть отрицательным:
$$f(3)=9a+3+4=9a+7<0.$$
Отсюда
$$a<-\frac{7}{9}.$$
Кроме того, уравнение должно быть квадратным, значит $$a\ne 0$$. Но при $$a<-\frac{7}{9}$$ это условие уже выполнено.
Рассмотрим уравнение
$$x^2+(2a-14)x+a^2-a-12=0.$$
Чтобы оба корня были положительными, нужно:
$$x_1+x_2>0,\qquad x_1x_2>0,$$
а также существование корней:
$$D\ge 0.$$
Найдём дискриминант:
$$ D=(2a-14)^2-4(a^2-a-12) $$
$$ =4a^2-56a+196-4a^2+4a+48 =244-52a. $$
Тогда
$$244-52a\ge 0,\qquad a\le \frac{61}{13}.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=14-2a>0,\qquad x_1x_2=a^2-a-12>0.$$
Решим неравенство для произведения:
$$ a^2-a-12=(a-4)(a+3)>0, $$
откуда
$$a<-3 \quad \text{или} \quad a>4.$$
Из условия суммы:
$$14-2a>0,\qquad a<7.$$
Пересекаем все условия:
$$a<-3 \quad \text{или} \quad 4<a\le \frac{61}{13}.$$