Вариант 3 Самостоятельная работа 25 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сочетания
1. Упростите выражение 10/(n+7)·C(n+7, n+5).
2. Решите в натуральных числах уравнение A(x+3, 2)+C(x+6, x+4)=48.
3. У Саши есть 12 различных фломастеров и 9 различных карандашей. Сколькими способами он может сформировать набор, состоящий из 4 фломастеров и 2 карандашей?
4. В цехе работает 19 человек. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 8 человек, если Иван Николаевич и Николай Иванович не могут входить в бригаду одновременно?

1. $$\frac{10}{n+7}\cdot C_{n+7}^{\,n+5}=\frac{10}{n+7}\cdot \frac{(n+7)!}{(n+5)!\,2!}$$

   $$=\frac{10}{n+7}\cdot \frac{(n+7)(n+6)}{2}=5(n+6).$$

2. $$A_{x+3}^{\,2}+C_{x+6}^{\,x+4}=48$$

   $$\frac{(x+3)!}{(x+1)!}+\frac{(x+6)!}{(x+4)!\,2!}=48$$

   $$2(x+3)(x+2)+(x+6)(x+5)=96$$

   $$2x^2+10x+12+x^2+11x+30=96$$

   $$3x^2+21x-54=0$$

   $$x^2+7x-18=0$$

   $$D=7^2+4\cdot 18=121$$

   $$x_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{2}$$

   $$x_1=-9,\quad x_2=2.$$

   Так как $x$ — натуральное число, подходит только $$x=2.$$

3. Число способов выбрать 4 фломастера из 12 и 2 карандаша из 9:

   $$N=C_{12}^{\,4}\cdot C_{9}^{\,2}=\frac{12!}{8!\,4!}\cdot \frac{9!}{7!\,2!}$$

   $$N=495\cdot 36=17820.$$

4. Всего способов выбрать бригаду из 8 человек:

   $$C_{19}^{\,8}.$$

   Нельзя брать одновременно двух указанных работников, значит вычтем число бригад, где они оба входят:

   $$C_{17}^{\,6}.$$

   Тогда

   $$N=C_{19}^{\,8}-C_{17}^{\,6}.$$

   $$C_{19}^{\,8}=75582,\qquad C_{17}^{\,6}=12376,$$

   $$N=75582-12376=63206.$$

Ответ

1) $$5(n+6)$$; 2) $$2$$; 3) $$17820$$; 4) $$63206$$.