Вариант 3 Самостоятельная работа 24 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Размещения
1. В легкоатлетическом кроссе участвует 10 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье и четвёртое места?
2. Решите в натуральных числах уравнение:
1) A(x+4, 2)=132; 2) P(x+5)/(A(x+2; 2)·P(x))=720.
3. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы цифры не повторялись, а вторая и третья цифры были нечётными?
Число способов распределить 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места среди 10 спортсменов равно числу размещений:
$$A_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040.$$
1) $$A_{x+4}^2=132,$$
$$\frac{(x+4)!}{(x+2)!}=132,$$
$$ (x+4)(x+3)=132,$$
$$x^2+7x+12=132,$$
$$x^2+7x-120=0.$$
$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-120)=49+480=529,$$
$$x=\frac{-7\pm 23}{2}.$$
$$x_1=-15,\quad x_2=8.$$
Так как число натуральное, подходит только $$x=8.$$
2) $$\frac{P_{x+5}}{A_{x+2}^2\cdot P_x}=720,$$
$$\frac{(x+5)!}{\frac{(x+2)!}{x!}\cdot x!}=720,$$
$$\frac{(x+5)!}{(x+2)!}=720,$$
$$ (x+5)(x+4)(x+3)=720,$$
$$x^3+12x^2+47x+60=720,$$
$$x^3+12x^2+47x-660=0.$$
Проверкой находим:
$$x=5,$$
так как $$5^3+12\cdot 5^2+47\cdot 5-660=0.$$
Первая цифра может быть выбрана $$8$$ способами. Вторая и третья цифры должны быть нечётными, значит, их можно выбрать из чисел $$1,3,5,7$$:
для второй цифры — $$4$$ способа, для третьей — $$3$$ способа.
Оставшиеся три цифры выбираем и расставляем из оставшихся $$5$$ цифр:
$$5\cdot 4\cdot 3.$$
Тогда общее число чисел:
$$8\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdot 4\cdot 3=4320.$$
Ответ
1) $$5040$$; 2) $$8$$, $$5$$; 3) $$4320$$.
