Вариант 3 Самостоятельная работа 23 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Основные правила комбинаторики. Перестановки
1. Сколькими способами можно рассадить 16 человек в ряду, содержащем 15 мест?
2. Сколько восьмизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8?
3. Сколько чётных семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе цифры были различными?
4. В школьных соревнованиях по лёгкой атлетике участвуют 7 девятиклассников, 6 десятиклассников и 9 одиннадцатиклассников. Сколькими способами можно построить в шеренгу участников соревнований так, чтобы все девятиклассники стояли рядом, все десятиклассники стояли рядом и все одиннадцатиклассники стояли рядом?

1. Рассадить 16 человек в 15 местах можно, выбрав, кто останется без места, и расположив остальных по местам:
   $$A_{16}^{15}=16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$
   $$A_{16}^{15}=16!=1\,307\,674\,368\,000.$$
2. Восьмизначное число составляем из цифр $$0,1,2,3,4,5,6,7,8$$ без повторений. Первая цифра не может быть нулём:
   $$8\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=322\,560.$$
3. Чётное семизначное число из цифр $$1,2,3,4,5,6,7$$ без повторений должно оканчиваться на одну из чётных цифр $$2,4,6$$. Тогда остальные 6 цифр можно переставить $$6!$$ способами:
   $$3\cdot 6!=3\cdot 720=2160.$$
4. Девятиклассники, десятиклассники и одиннадцатиклассники должны стоять отдельными группами. Сначала переставим сами группы:
   $$3!$$
   Затем внутри каждой группы:
   $$7!\cdot 6!\cdot 9!$$
   Итого:
   $$3!\cdot 7!\cdot 6!\cdot 9!=6\cdot 5040\cdot 720\cdot 362880=7\,900\,913\,664\,000.$$

Ответ

1) $$1\,307\,674\,368\,000$$; 2) $$322\,560$$; 3) $$2160$$; 4) $$7\,900\,913\,664\,000$$.