Вариант 3 Самостоятельная работа 22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Метод математической индукции
1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном n выполняется равенство
1+7+13+…+6n-5=n(3n-2).
2. Докажите неравенство 6^n > 5n+4, где n?N, n?2.
3. Докажите, что для любого натурального n значение выражения (29^n+68·6^n) кратно 23.

1. Докажем по индукции равенство $$1+7+13+\dots+(6n-5)=n(3n-2).$$

   База индукции: при $$n=1$$ имеем

   $$1=1\cdot(3\cdot1-2).$$

   Равенство верно.

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

   $$1+7+13+\dots+(6k-5)=k(3k-2).$$

   Докажем для $$n=k+1$$:

   $$ 1+7+13+\dots+(6k-5)+\bigl(6(k+1)-5\bigr) $$
   $$ =k(3k-2)+6k+1 $$
   $$ =3k^2-2k+6k+1 $$
   $$ =3k^2+4k+1 $$
   $$ =(k+1)(3k+1) $$
   $$ =(k+1)\bigl(3(k+1)-2\bigr). $$

   Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.

2. Докажем неравенство $$6^n>5n+4$$ при $$n\ge 2$$.

   База индукции: при $$n=2$$

   $$6^2=36>14=5\cdot2+4.$$

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

   $$6^k>5k+4.$$

   Тогда

   $$ 6^{k+1}=6\cdot6^k>6(5k+4)=30k+24. $$

   Сравним:

   $$30k+24-(5(k+1)+4)=30k+24-(5k+9)=25k+15>0.$$

   Значит,

   $$6^{k+1}>5(k+1)+4.$$

   Следовательно, неравенство верно для всех $$n\ge 2$$.

3. Докажем, что число $$29^n+68\cdot6^n$$ кратно $$23$$.

   База индукции: при $$n=1$$

   $$29+68\cdot6=437=23\cdot19.$$

   Число кратно $$23$$.

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ выражение кратно $$23$$, то есть

   $$29^k+68\cdot6^k=23m.$$

   Тогда

   $$ 29^{k+1}+68\cdot6^{k+1} =29\cdot29^k+68\cdot6\cdot6^k $$
   $$ =29(29^k+68\cdot6^k)+23\cdot68\cdot6^k. $$

   Оба слагаемых справа кратны $$23$$, значит, и всё выражение кратно $$23$$.

   Следовательно, $$29^n+68\cdot6^n$$ кратно $$23$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) $$1+7+13+\dots+(6n-5)=n(3n-2)$$; 2) $$6^n>5n+4$$ при $$n\ge2$$; 3) $$29^n+68\cdot6^n$$ кратно $$23$$.