Вариант 3 Самостоятельная работа 20 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Процентные расчёты
1. После двух последовательных снижений цены на 30% комнатные тапочки стали стоить 784 р. Найдите первоначальную цену тапочек.
2. Морская вода содержит 8% соли. Сколько пресной воды надо добавить к 60 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 5%?
3. Банк выдал предпринимателю кредит в сумме 500 000 р. на 2 года под некоторый процент годовых. Через год банковская ставка была уменьшена на 2%. В конце второго года предприниматель вернул банку 708 000 р. Под какой процент был выдан кредит в первый год?

Подробный ответ

Пусть первоначальная цена тапочек равна $$x$$ р. После двух последовательных снижений на $$30\%$$ цена стала равна
$$x \cdot \left(1-\frac{30}{100}\right)\cdot \left(1-\frac{30}{100}\right)=784.$$
Тогда
$$x \cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{7}{10}=784,$$
$$\frac{49}{100}x=784,$$
$$x=784\cdot \frac{100}{49}=1600.$$
Пусть к $$60$$ кг морской воды долили $$x$$ кг пресной воды. Масса соли не изменилась и равна
$$60\cdot \frac{8}{100}=4{,}8 \text{ кг}.$$
После добавления воды масса раствора стала $$60+x$$ кг, а концентрация соли — $$5\%$$. Составим уравнение:
$$\frac{4{,}8}{60+x}=\frac{5}{100}.$$
Решаем:
$$4{,}8=0{,}05(60+x),$$
$$4{,}8=3+0{,}05x,$$
$$1{,}8=0{,}05x,$$
$$x=36.$$
Пусть первоначальная ставка кредита равна $$x\%$$. Тогда через год сумма долга стала
$$500000\left(1+\frac{x}{100}\right).$$
Во второй год ставка уменьшилась на $$2\%$$, значит, стала $$x-2\%$$. К концу второго года предприниматель вернул
$$500000\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x-2}{100}\right)=708000.$$
Сократим на $$500000$$:
$$\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x-2}{100}\right)=1{,}416.$$
Умножим на $$10000$$:
$$ (x+100)(x+98)=14160.$$
Раскроем скобки:
$$x^2+198x+9800=14160,$$
$$x^2+198x-4360=0.$$
Найдём корни:
$$D=198^2-4\cdot 1\cdot (-4360)=56644,$$
$$x=\frac{-198\pm 238}{2}.$$
Получаем $$x_1=-218$$ и $$x_2=20$$. Подходит только положительное значение.