Вариант 3 Самостоятельная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
1. На рисунке 5 изображён график функции у=f(x), определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) min(R, f(x)); max(R, f(x));
5) min([-1; 0], f(x)); max([-1; 0], f(x)).
2. Докажите, что функция f(x)=7/(x-5) убывает на промежутке (5; +?).
3. Найдите min(D(f), f(x)) и max(D(f), f(x)), если f(x)=7-v(9-x^2).
4. Возрастающая функция f определена на множестве R. Возрастающей или убывающей является функция f(g(x)), если g(x)=2-5x?
5. Решите уравнение x^3+3v(5x+4)=10.

1. По графику функции получаем:

   1) нули функции: $$x=-1$$ и $$x=3$$;

   2) $$f(x)>0$$ при $$-1<x<3$$;

   3) функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$;

   4) $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует, $$\max_{\mathbb{R}} f(x)=4$$;

   5) на отрезке $$[-1;0]$$: $$\min_{[-1;0]} f(x)=0$$, $$\max_{[-1;0]} f(x)=3$$.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\dfrac{7}{x-5}$$, $$x\in(5;+\infty)$$.

   Если $$x_2>x_1>5$$, то $$x_2-5>x_1-5>0$$, значит

   $$ \frac{1}{x_2-5}<\frac{1}{x_1-5} $$

   Умножая на $$7>0$$, получаем

   $$ \frac{7}{x_2-5}<\frac{7}{x_1-5} $$

   Следовательно, функция убывает на $$\left(5;+\infty\right)$$.

3. $$f(x)=7-\sqrt{9-x^2}$$.

   Область определения: $$9-x^2\ge 0$$, значит $$x\in[-3;3]$$.

   Так как $$0\le \sqrt{9-x^2}\le 3$$, то

   $$ 4\le 7-\sqrt{9-x^2}\le 7 $$

   Следовательно, $$\min f(x)=4$$, $$\max f(x)=7$$.

4. Функция $$f$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Рассмотрим $$g(x)=2-5x$$.

   Если $$x_2>x_1$$, то

   $$ -5x_2<-5x_1,\qquad 2-5x_2<2-5x_1 $$

   Значит, $$g(x)$$ убывает. Тогда при возрастании аргумента значение $$f(g(x))$$ убывает.

5. Решим уравнение

   $$ x^3+3\sqrt{5x+4}=10 $$

   Перенесём:

   $$ x^3-10=-3\sqrt{5x+4} $$

   Область определения: $$5x+4\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac45$$.

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$ 1^3+3\sqrt{5\cdot 1+4}=1+3\sqrt9=1+9=10 $$

   Значит, $$x=1$$ — решение. Других решений нет.

Ответ

1) $$x=-1,\ 3$$; $$f(x)>0$$ при $$-1<x<3$$; возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует, $$\max_{\mathbb{R}} f(x)=4$$; $$\min_{[-1;0]} f(x)=0$$, $$\max_{[-1;0]} f(x)=3$$.
2) Убывает на $$\left(5;+\infty\right)$$.
3) $$\min f(x)=4$$, $$\max f(x)=7$$.
4) Убывает.
5) $$x=1$$.