Вариант 3 Самостоятельная работа 19 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Математическое моделирование
1. От двух станций, расстояние между которыми равно 450 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 ч. Найдите скорость каждого поезда, если один из них истратил на путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой.
2. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4 ч 48 мин. Если же сначала первый экскаватор выроет самостоятельно 1/4 котлована, а затем второй — оставшуюся часть котлована, то вся работа будет выполнена за 9 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?
3. В двух сплавах массы золота и меди относятся как 7:1 и 5:3 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 32 кг нового сплава, в котором массы золота и меди относятся как 11:5?

1. Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого поезда, $$y$$ км/ч — скорость второго.

   Так как поезда встретились через $$5$$ ч, получаем:

   $$5(x+y)=450,$$

   откуда

   $$x+y=90.$$

   Время движения поездов между станциями отличается на $$2\text{ ч }15\text{ мин}=\frac{9}{4}$$ ч, значит

   $$\frac{450}{x}-\frac{450}{y}=\frac{9}{4}.$$

   Подставим $$y=90-x$$:

   $$\frac{450}{x}-\frac{450}{90-x}=\frac{9}{4}.$$

   Умножим на $$4x(90-x)$$:

   $$1800(90-x)-1800x=9x(90-x),$$

   $$162000-3600x=810x-9x^2,$$

   $$9x^2-4410x+162000=0,$$

   $$x^2-490x+18000=0.$$

   $$D=490^2-4\cdot18000=168100,$$

   $$\sqrt{D}=410.$$

   Тогда

   $$x=\frac{490-410}{2}=40,\qquad x=\frac{490+410}{2}=450.$$

   Скорость $$450$$ км/ч не подходит, так как тогда $$y=90-450<0$$. Значит, $$x=40$$, $$y=50$$.

2. Пусть $$x$$ ч — время, за которое первый экскаватор выроет котлован самостоятельно, $$y$$ ч — время второго.

   Тогда их совместная производительность равна

   $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4\frac{4}{5}}=\frac{1}{\frac{24}{5}}=\frac{5}{24}.$$

   Если первый экскаватор выполнит $$\frac14$$ работы, а второй — оставшуюся часть $$\frac34$$, то

   $$\frac{x}{4}+\frac{3y}{4}=9,$$

   $$x+3y=36,$$

   $$x=36-3y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{1}{36-3y}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}.$$

   Умножим на $$24y(36-3y)$$:

   $$24y+24(36-3y)=5y(36-3y),$$

   $$24y+864-72y=180y-15y^2,$$

   $$15y^2-228y+864=0,$$

   $$5y^2-76y+288=0.$$

   $$D=76^2-4\cdot5\cdot288=16,$$

   $$y=\frac{76-4}{10}=7{,}2,\qquad y=\frac{76+4}{10}=8.$$

   Тогда

   $$x=36-3\cdot7{,}2=14{,}4,\qquad x=36-3\cdot8=12.$$

   Получаем два возможных ответа: $$14{,}4$$ ч и $$7{,}2$$ ч; $$12$$ ч и $$8$$ ч.

3. Пусть $$x$$ кг — масса первого сплава, $$y$$ кг — масса второго сплава.

   Тогда

   $$x+y=32.$$

   В первом сплаве золота $$\frac78$$, меди $$\frac18$$; во втором — золота $$\frac58$$, меди $$\frac38$$. В новом сплаве золота должно быть $$\frac{11}{16}$$ от $$32$$ кг, то есть

   $$32\cdot\frac{11}{16}=22\text{ кг}.$$

   Составим уравнение по золоту:

   $$\frac78x+\frac58y=22.$$

   Подставим $$y=32-x$$:

   $$\frac78x+\frac58(32-x)=22,$$

   $$\frac78x+20-\frac58x=22,$$

   $$\frac28x=2,$$

   $$x=8.$$

   Тогда

   $$y=32-8=24.$$

Ответ

1) $$40$$ км/ч и $$50$$ км/ч; 2) $$14{,}4$$ ч и $$7{,}2$$ ч или $$12$$ ч и $$8$$ ч; 3) $$8$$ кг и $$24$$ кг.