Вариант 3 Самостоятельная работа 18 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши-Буняковского
1. Для положительных чисел а и b докажите неравенство a/(20b)+125b/a?5.
2. При y > 7 докажите неравенство y+1/(y-7)?9.
3. Известно, что a^2+b^2=5, c^2+d^2=20. Докажите, что |ac+bd|?10.
4. Известно, что x+y=2. Докажите, что v(x^2+16y^2)+v(y^2+16x^2)?5v2.

1. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел имеем:

   $$\frac{a}{20b}+\frac{125b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{20b}\cdot\frac{125b}{a}}.$$

   Упростим правую часть:

   $$2\sqrt{\frac{125}{20}}=2\sqrt{\frac{25}{4}}=2\cdot\frac{5}{2}=5.$$

   Значит,

   $$\frac{a}{20b}+\frac{125b}{a}\ge 5.$$

2. При $$y>7$$ числа $$y-7$$ и $$\frac{1}{y-7}$$ положительны. Тогда по неравенству AM-GM:

   $$y-7+\frac{1}{y-7}\ge 2\sqrt{(y-7)\cdot\frac{1}{y-7}}=2.$$

   Следовательно,

   $$y+\frac{1}{y-7}\ge 9.$$

3. По неравенству Коши-Буняковского:

   $$|ac+bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}.$$

   Подставим данные:

   $$|ac+bd|\le \sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{100}=10.$$

4. По неравенству Коши-Буняковского:

   $$\sqrt{x^2+16y^2}+\sqrt{y^2+16x^2}\ge \frac{x+4y}{\sqrt2}+\frac{y+4x}{\sqrt2}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x^2+16y^2}+\sqrt{y^2+16x^2}\ge \frac{5(x+y)}{\sqrt2}.$$

   Так как $$x+y=2$$, получаем:

   $$\frac{5(x+y)}{\sqrt2}=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2.$$

Ответ

1) $$\frac{a}{20b}+\frac{125b}{a}\ge 5$$; 2) $$y+\frac{1}{y-7}\ge 9$$; 3) $$|ac+bd|\le 10$$; 4) $$\sqrt{x^2+16y^2}+\sqrt{y^2+16x^2}\ge 5\sqrt2$$.