Вариант 2 Контрольная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Квадратичная функция
1. Найдите область определения функции
f(x)=v(3-7x)+1/(x^2-2x-15).
2. Найдите область значений функции y=(4x-12)/x^2.
3. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=3x^2-x^4;
2) y=(x^7-3x^6)/(3-x);
3) y=|x+2|/(4x-1)^2-|x-2|/(4x+1)^2.
4. Постройте график функции f(x)=-x^2-2x+8. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания функции;
3) множество решений неравенства f(x) < 0. 5. Постройте график функции: 1) y=|3-vx|; 2) y=v(3-x); 3) y=v(3-2x). 6. Решите уравнение v(x-3)+v(x+5)=16/x. 7. Найдите наименьшее значение функции f(x)=(x^2-2x)^2+6(x^2-2x)+10.

Подробный ответ

$$f(x)=\sqrt{3-7x}+\frac{1}{x^2-2x-15}.$$
Для области определения нужно:
$$3-7x\ge 0,$$
$$x^2-2x-15\ne 0.$$
Разложим знаменатель на множители:
$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3).$$
Тогда
$$x\ne 5,\quad x\ne -3,$$
$$x\le \frac{3}{7}.$$
С учётом условия $$x\le \frac{3}{7}$$ число $$5$$ не входит в область определения, остаётся исключить $$x=-3$$.
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup\left(-3;\frac{3}{7}\right].$$
$$y=\frac{4x-12}{x^2}.$$
Пусть $$y=\frac{4x-12}{x^2}$$, тогда
$$yx^2=4x-12,$$
$$yx^2-4x+12=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=4^2-4\cdot y\cdot 12\ge 0,$$
$$16-48y\ge 0,$$
$$y\le \frac13.$$
Значит,
$$E(y)=\left(-\infty;\frac13\right].$$
1) $$y=3x^2-x^4.$$
$$f(-x)=3(-x)^2-(-x)^4=3x^2-x^4=f(x).$$
Функция чётная.
2) $$y=\frac{x^7-3x^6}{3-x}.$$
Область определения: $$x\ne 3.$$
$$f(-x)=\frac{(-x)^7-3(-x)^6}{3-(-x)}=\frac{-x^7-3x^6}{3+x},$$
что не равно ни $$f(x)$$, ни $$-f(x)$$. Функция ни чётная, ни нечётная.
3) $$y=\frac{|x+2|}{(4x-1)^2}-\frac{|x-2|}{(4x+1)^2}.$$
Область определения: $$x\ne \frac14,\; x\ne -\frac14.$$
$$f(-x)=\frac{|-x+2|}{(-4x-1)^2}-\frac{|-x-2|}{(-4x+1)^2} =\frac{|x-2|}{(4x+1)^2}-\frac{|x+2|}{(4x-1)^2}=-f(x).$$
Функция нечётная.
$$f(x)=-x^2-2x+8.$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot(-1)}=-1,$$
$$y_0=f(-1)=-1+2+8=9.$$
Вершина параболы: $$(-1;9)$$, ветви направлены вниз.
Тогда:
1) $$E(f)=(-\infty;9].$$
2) Функция возрастает на $$(-\infty;-1].$$
3) Решим неравенство:
$$-x^2-2x+8<0,$$
$$x^2+2x-8>0,$$
$$ (x+4)(x-2)>0.$$
Отсюда $$x<-4$$ или $$x>2.$$
1) $$y=|3-\sqrt{x}|.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
График получается из графика $$y=3-\sqrt{x}$$ отражением части, лежащей ниже оси $$Ox$$, вверх относительно оси $$Ox$$.
2) $$y=\sqrt{3-x}.$$
Область определения: $$x\le 3.$$
Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, отражённый относительно оси $$Oy$$ и сдвинутый так, что начало графика находится в точке $$ (3;0) $$.
3) $$y=\sqrt{3-2x}.$$
Область определения: $$x\le \frac32.$$
График получается из $$y=\sqrt{x}$$ заменой $$x\mapsto 3-2x$$; он начинается в точке $$\left(\frac32;0\right)$$ и убывает влево.
$$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+5}=\frac{16}{x}.$$
Область определения: $$x\ge 3,$$ так как подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а также $$x\ne 0$$, что уже выполнено при $$x\ge 3.$$
При $$x\ge 3$$ левая часть возрастает, а правая часть $$\frac{16}{x}$$ убывает, значит, решение может быть только одно.
Проверим $$x=4$$:
$$\sqrt{4-3}+\sqrt{4+5}=1+3=4,$$
$$\frac{16}{4}=4.$$
Следовательно, $$x=4$$.
$$f(x)=(x^2-2x)^2+6(x^2-2x)+10.$$
Введём замену:
$$t=x^2-2x.$$
Тогда
$$f=t^2+6t+10=(t+3)^2+1.$$
Минимум достигается при $$t=-3$$ и равен $$1$$.
Проверим, возможно ли $$t=-3$$:
$$x^2-2x=-3,$$
$$x^2-2x+3=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0.$$
Значит, $$t=-3$$ недостижимо. Найдём минимум по области значений $$t=x^2-2x=(x-1)^2-1\ge -1.$$
Тогда
$$f=t^2+6t+10=(t+3)^2+1,$$
и при $$t=-1$$ получаем
$$f_{\min}=(-1)^2+6\cdot(-1)+10=5.$$