Вариант 2 Самостоятельная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Функция
1. Найдите область определения функции
f(x)=v(3x-2)+1/(x^2-x-2).
2. Найдите область значений функции:
1) y=5-(x^7)/x; 2) y=(x-1)/x^2.
3. Даны функции f(x)=3x+1 и g(x)=x^2-3. Задайте формулой функцию: 1) g(2x); 2) f(g(х)).
4. Постройте график функции y=(6-2x)/(x^2-3x).
5. Известно, что D(f)=[-1; 6]. Найдите область определения функции y=f(x-5).

Подробный ответ

Найдём область определения функции $$f(x)=\sqrt{3x-2}+\frac{1}{x^2-x-2}.$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$3x-2\ge 0,\quad x\ge \frac23.$$
Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x^2-x-2\ne 0,$$
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),$$
значит, $$x\ne 2,\quad x\ne -1.$$
С учётом условия $$x\ge \frac23$$ исключаем только $$x=2.$$
Итак,
$$D(f)=\left[\frac23;2\right)\cup(2;+\infty).$$
Найдём область значений.
1) $$y=5-\frac{x^7}{x}=5-x^6,\quad x\ne 0.$$
Так как $$x^6\ge 0,$$ то $$y\le 5.$$ При этом значение $$5$$ не достигается, так как $$x=0$$ не входит в область определения.
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;5).$$
2) $$y=\frac{x-1}{x^2},\quad x\ne 0.$$
Преобразуем:
$$yx^2=x-1,$$
$$yx^2-x+1=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=1-4y\ge 0,$$
$$y\le \frac14.$$
Значит,
$$E(y)=(-\infty;\tfrac14].$$
Даны $$f(x)=3x+1$$ и $$g(x)=x^2-3.$$
1) $$g(2x)=(2x)^2-3=4x^2-3.$$
2) $$f(g(x))=3(x^2-3)+1=3x^2-8.$$
Преобразуем функцию:
$$y=\frac{6-2x}{x^2-3x}=\frac{2(3-x)}{x(x-3)}=-\frac{2}{x}.$$
Но при этом нужно учесть область определения исходной функции:
$$x^2-3x\ne 0,$$
$$x(x-3)\ne 0,$$
$$x\ne 0,\quad x\ne 3.$$
Значит, график функции $$y=-\frac{2}{x}$$ с выколотой точкой при $$x=3$$, то есть точкой $$\left(3;-\frac23\right).$$
Если $$D(f)=[-1;6],$$ то для функции $$y=f(x-5)$$ нужно, чтобы
$$-1\le x-5\le 6.$$
Прибавим 5 ко всем частям неравенства:
$$4\le x\le 11.$$
Следовательно,
$$D=\left[4;11\right].$$