Вариант 2 Контрольная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Итоговая
1. Постройте график функции f(x)=-x^2+6x. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства f(x) < 5.
2. Решите неравенство (x^2+6x+8)/(x^2-4x+3)?0.
3. Решите систему уравнений {x^2+xy=6, xy+y^2=3}.
4. Две строительные бригады, работая вместе, могут заасфальтировать участок трассы за 20 дней. Если первая
бригада заасфальтирует 1/6 часть участка трассы, а затем её заменит вторая, то весь участок трассы будет заасфальтирован за 35 дней. За сколько дней каждая из бригад может заасфальтировать этот участок трассы, работая самостоятельно?
5. Постройте график неравенства |x|(y-2)?0.
6. На четырёх карточках записаны числа 3, 4, 5 и 6. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет кратным числу 3?
7. Докажите, что если a > 0 и b > 0, то (1+1/a)(4+1/b)(1+16ab)?64.
8. При каких значениях параметра a неравенство (a-6)x^2+(12-2a)x+7 > 0 выполняется при всех действительных значениях x?
$$f(x)=-x^2+6x=-(x-3)^2+9.$$
Парабола направлена ветвями вниз, вершина имеет координаты $$\left(3;9\right).$$
1) Область значений функции: $$E(f)=(-\infty;9].$$
2) Функция убывает на промежутке $$[3;+\infty).$$
3) Решим неравенство:
$$-x^2+6x<5$$
$$x^2-6x+5>0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)>0.$$
Отсюда $$x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty).$$
$$\frac{x^2+6x+8}{x^2-4x+3}\le 0.$$
Разложим на множители:
$$\frac{(x+2)(x+4)}{(x-1)(x-3)}\le 0.$$
Критические точки: $$x=-4,\,-2,\,1,\,3.$$
С учётом знаков дроби получаем:
$$x\in[-4;-2]\cup(1;3).$$
$$ \begin{cases} x^2+xy=6,\\ xy+y^2=3. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$x^2+2xy+y^2=9,$$
$$\left(x+y\right)^2=9,$$
$$x+y=\pm 3.$$
Если $$x+y=3,$$ то $$y=3-x$$ и
$$x^2+x(3-x)=6,$$
$$3x=6,$$
$$x=2,\quad y=1.$$
Если $$x+y=-3,$$ то $$y=-3-x$$ и
$$x^2+x(-3-x)=6,$$
$$-3x=6,$$
$$x=-2,\quad y=-1.$$
Следовательно, решения системы: $$\left(2;1\right)$$ и $$\left(-2;-1\right).$$
Пусть первая бригада выполняет работу за $$x$$ дней, а вторая — за $$y$$ дней.
Тогда по условию:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{20}.$$
Если первая бригада выполнит $$\frac16$$ работы, а затем вторую заменит первая, то
$$\frac{x}{6}+\frac{5y}{6}=35,$$
$$x+5y=210.$$
Решая систему
$$ \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{20},\\ x+5y=210, \end{cases} $$
получаем $$x=70,$$ $$y=28.$$
Проверка:
$$\frac{1}{70}+\frac{1}{28}=\frac{2+5}{140}=\frac{1}{20}.$$
Значит, первая бригада выполняет работу за $$70$$ дней, вторая — за $$28$$ дней.
$$|x|(y-2)\ge 0.$$
Так как $$|x|\ge 0,$$ то неравенство выполняется, когда:
$$x=0$$ или $$y-2\ge 0.$$
Следовательно, множество решений — это прямая $$x=0$$ и полуплоскость $$y\ge 2.$$
Всего способов выбрать 2 карточки из 4:
$$C_4^2=6.$$
Произведение будет кратным 3, если среди выбранных чисел есть число $$3.$$
Благоприятные пары:
$$\{3,4\},\ \{3,5\},\ \{3,6\}.$$
Их $$3.$$ Тогда
$$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$
Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то по неравенству AM-GM:
$$1+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{\frac{1}{a}}=\frac{2}{\sqrt{a}},$$
$$4+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{\frac{4}{b}}=\frac{4}{\sqrt{b}},$$
$$1+16ab\ge 2\sqrt{16ab}=8\sqrt{ab}.$$
Перемножая, получаем:
$$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(4+\frac{1}{b}\right)\left(1+16ab\right)\ge \frac{2}{\sqrt{a}}\cdot \frac{4}{\sqrt{b}}\cdot 8\sqrt{ab}=64.$$
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим неравенство
$$\left(a-6\right)x^2+\left(12-2a\right)x+7>0$$
при всех действительных $$x.$$
Для этого необходимо, чтобы коэффициент при $$x^2$$ был отрицательным, а дискриминант был отрицателен:
$$a-6<0,$$
$$D=\left(12-2a\right)^2-4\left(a-6\right)\cdot 7<0.$$
Вычислим:
$$144-48a+4a^2-28a+168<0,$$
$$4a^2-76a+312<0,$$
$$a^2-19a+78<0,$$
$$\left(a-6\right)\left(a-13\right)<0.$$
Отсюда $$6<a<13.$$
С учётом условия $$a-6<0$$ получаем:
$$a\in(6;13).$$
Ответ
1) $$(-\infty;9]$$, $$[3;+\infty)$$, $$(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$[-4;-2]\cup(1;3)$$; 3) $$\left(2;1\right),\ \left(-2;-1\right)$$; 4) $$70$$ дней и $$28$$ дней; 5) $$x=0$$ или $$y\ge 2$$; 6) $$\frac{1}{2}$$; 7) доказано; 8) $$a\in(6;13)$$.
