Вариант 2 Контрольная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Числовые последовательности
1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии -8,1; -7,9; -7,7; … .
2. Первый и шестой члены геометрической прогрессии соответственно равны 2 и -64. Найдите сумму десяти первых членов этой прогрессии.
3. При каком значении x значения выражений x+1, x+5 и 2x+4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 182, а сумма трёх её первых членов равна 156. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180.
6. Последовательность задана рекуррентно: a_1=3, a_2=5, a_(n+2)=3a_(n+1)-2a_n. Докажите, что a_n=2^n+1.
7. Найдите сумму 1/(v1+v8)+1/(v8+v15)+1/(v15+v22)+…+1/(v162+v169).
Арифметическая прогрессия: $$a_1=-8{,}1,\quad a_2=-7{,}9,\quad d=a_2-a_1=0{,}2.$$
Ищем первый положительный член:
$$a_n=a_1+d(n-1)>0$$
$$-8{,}1+0{,}2(n-1)>0$$
$$0{,}2n-8{,}3>0$$
$$n>41{,}5.$$
Значит, первый положительный член — при $$n=42.$$
Для геометрической прогрессии $$b_1=2,\quad b_6=-64.$$
Тогда
$$b_6=b_1q^5$$
$$2q^5=-64$$
$$q^5=-32,\quad q=-2.$$
Сумма первых десяти членов:
$$S_{10}=\frac{b_1(q^{10}-1)}{q-1}=\frac{2\bigl((-2)^{10}-1\bigr)}{-2-1}$$
$$S_{10}=\frac{2(1024-1)}{-3}=-682.$$
Пусть члены геометрической прогрессии равны:
$$b_1=x+1,\quad b_2=x+5,\quad b_3=2x+4.$$
Для геометрической прогрессии выполняется условие:
$$b_2^2=b_1b_3.$$
Тогда
$$ (x+5)^2=(x+1)(2x+4) $$
$$x^2+10x+25=2x^2+6x+4$$
$$x^2-4x-21=0$$
$$D=16+84=100$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 10}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=7.$$
Если $$x=-3,$$ то
$$b_1=-2,\quad b_2=2,\quad b_3=-2.$$
Если $$x=7,$$ то
$$b_1=8,\quad b_2=12,\quad b_3=18.$$
Для бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=162.$$
Отсюда
$$b_1=162(1-q).$$
Сумма первых трёх членов равна:
$$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=156.$$
Подставим $$b_1=162(1-q):$$
$$162(1-q^3)=156$$
$$1-q^3=\frac{26}{27}$$
$$q^3=\frac{1}{27},\quad q=\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$b_1=162\left(1-\frac{1}{3}\right)=108.$$
Натуральные числа, кратные 8 и лежащие между 50 и 180:
$$56, 64, 72, \ldots, 176.$$
Это арифметическая прогрессия с $$a_1=56,\ a_n=176,\ d=8.$$
Найдём число членов:
$$n=\frac{176-56}{8}+1=16.$$
Сумма:
$$S_{16}=\frac{56+176}{2}\cdot 16=1856.$$
Проверим формулу $$a_n=2^n+1.$$
При $$n=1$$:
$$a_1=2^1+1=3.$$
При $$n=2$$:
$$a_2=2^2+1=5.$$
Предположим, что формула верна для $$a_n$$ и $$a_{n+1}$$. Тогда
$$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$$
$$a_{n+2}=3(2^{n+1}+1)-2(2^n+1)$$
$$a_{n+2}=3\cdot 2^{n+1}+3-2^{n+1}-2$$
$$a_{n+2}=2\cdot 2^{n+1}+1=2^{n+2}+1.$$
Следовательно, $$a_n=2^n+1.$$
Преобразуем каждый член суммы:
$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{1}}{8-1}=\frac{\sqrt{8}-1}{7},$$
$$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{8}}{15-8}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{8}}{7},$$
и так далее.
Тогда сумма телескопируется:
$$S=\frac{(\sqrt{8}-1)+(\sqrt{15}-\sqrt{8})+(\sqrt{22}-\sqrt{15})+\cdots+(\sqrt{169}-\sqrt{162})}{7}$$
$$S=\frac{\sqrt{169}-1}{7}=\frac{13-1}{7}=\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}.$$
Ответ
1) 42; 2) $$-682$$; 3) при $$x=-3$$: $$-2,\,2,\,-2$$; при $$x=7$$: $$8,\,12,\,18$$; 4) $$b_1=108,\ q=\frac13$$; 5) $$1856$$; 6) $$a_n=2^n+1$$; 7) $$1\frac{5}{7}$$.
